Question

ゲスト

これの答えは0ですか？それとも4/3ですか？

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

黒龍

0です。

ゲスト

ありがとうございます。ではこの問題の場合、積分範囲を-π/2≦θ≦π/2のときと0≦θ≦π/2の2倍で解き進めた場合とでは値が違うのは何故ですかね？

黒龍

えーと、この問題で話題になっているのは被積分関数が 1-(sinθ)^ 3の定積分ですかね。
この関数は偶関数でも奇関数でもないため、-π/2≦θ≦π/2から0≦θ≦π/2に積分範囲を変える操作ができません。したがって積分範囲を変えると積分の値が変わります。

ゲスト

度々申し訳ありません。かなり計算は省いていますが、左と右とでは値が異なります。一応右の方が問題集の答えなのですが左の方はどこが間違っているのでしょうか？

黒龍

わかりました！

計算途中にある {sin^2(θ)}^(3/2) が原因です。
これを
{sin^2(θ)}^(3/2)＝sin^3(θ) としたのが間違いです。

正しくは
{sin^2(θ)}^(3/2)＝|sinθ|^3
です。√(A^2)=|A|です。つまり左のやり方でいくと、サインの符号で場合分けが発生し、-π/2≦θ≦π/2のときと0≦θ≦π/2のときで積分を分けないといけません。

実際これでやると右と積分値が一致します。

黒龍

-π/2≦θ≦π/2のときと0≦θ≦π/2 ❌
-π/2≦θ≦0のときと0≦θ≦π/2 ⭕️

ゲスト

おかげさまで解けました。大変助かりました！