Question

♡

？のところ、どれがどのようにしてできたものか理解できないので教えてください！

数学的帰納法によって, 次の等式を証明せよ。
4+4-(-3)+4・(一3が+……+4・(3)"ニ1ー(-3)" 一

っg衝式そ①とす3

Answer 1

LUX SIT

4+4*(-3)+4*(-3)^2+…+4*(-3)^(n-1)=1-(-3)^nを数学的帰納法で証明する.
n=1のとき, 4=1-(-3)=1-(-3)^1なので成立する.
n=kのとき, 4+4*(-3)+4*(-3)^2+…+4*(-3)^(k-1)=1-(-3)^kが成り立つと仮定する[この式は正しいと仮定するわけですね].
この条件下で
4+4*(-3)+4*(-3)^2+…+4*(-3)^(k-1)+4*(-3)^{(k+1)-1} [n=k+1での左辺から右辺を導きたい.]
={4+4*(-3)+4*(-3)^2+…+4*(-3)^(k-1)}+4*(-3)^k [n=kまでの項とそれ以外の項と分けます.]
={1-(-3)^k}+4*(-3)^k [n=kにおける仮定は真だから, こう書き換えられます.]
=1+3*(-3)^k=1-(-3)*(-3)^k=1-(-3)^(k+1) [右辺の形になるよう変形します.]
となってn=k+1のときも成り立つ. 以上より示された.
***
n=1でOK, n=kを仮定すると n=k+1が成立.
k=1->n=1が真->n=2が真
k=2->n=2が真->n=3が真
…
というドミノ倒しの構図をよく理解しましょう.