Question

さくら🌸

解き方を教えてください🙇‍♀️

Answer 1

LUX SIT

Σ[k=1->n]k=n(n+1)/2, Σ[k=1->n]k^2=n(n+1)(2n+1)/6の求め方については教科書で習っている[分からないときは復習を]と思います.
これらの関係式はよく使うので, 問題演習を通じて覚えましょう.
***
Σk(k+1)[見やすさのために和をとる範囲を省略しました.自分で書くときは補ってください.]
=Σ(k^2+k)[ここまでは出来ていたんですね]
=Σk^2+Σk[和なので(1^2+1)+(2^2+2)+…=(1^2+2^2+…)+(1+2+…)としても問題ありません.]
={n(n+1)(2n+1)/6}+{n(n+1)/2}[上の公式を使います.]
=n(n+1)/6*{(2n+1)+3}
=n(n+1)(n+2)/3
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とても綺麗な形ですよね.
恒等式k(k+1)=(1/3){k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}を利用することで
Σk(k+1)=(1/3)Σ{k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)}=(1/3){n(n+1(n+2))-0*1*2}=n(n+1)(n+2)/3
として求めることができます[Σ1/k(k+1)=Σ1/k-Σ1/(k+1)の畳み込み級数と同じ原理].
例えばΣk^3を求める問題が出た場合は, 上の恒等式を応用することでΣk(k+1)(k+2)を簡単に求めることが出来ます.
これを繰り返すことによってΣk^nを構成的に求めることも推測がつくでしょう.