Question

sea:)

2次方程式x²+bx+c=0の2つの解をp,qとすると、
(x-p)(x-q)=0と表せる。

どうしてこうなるのか教えてください！お願いします

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ごんぎつね

蛍光のところが主な解説ですが、分からないことがあったら、また返信をお願いします。

Answer 2

LUX SIT

適当な実数d,e[係数の辻褄合わせと考えるといいでしょう]をとって
x^2+bx+c=(x-p)(x-q)+dx+e
と書くことが出来る.
x=p,qが2次方程式x^2+bx+c=0の解なので
0=p^2+bp+c=dp+e
0=q^2+bq+c=dq+e
が成り立つ.
このp,qに関する連立方程式を解くとd=e=0なので
x^2+bx+c=(x-p)(x-q)
がいえるので示された.

LUX SIT

追加します.
***
x=αが解ならばα^2+bα+c=0が満たされます.
x^2+bx+c=0⇔x^2+bx+c-(α^2+bα+c)=0⇔(x-α)(x+α)+b(x-α)=0⇔(x-α)(x+α+b)=0
なのでx^2+bx+cはx-αを約数にもちます.
この事実を利用すると
x^2+bx+c=0はx-pとx-qを約数にもち, x^2の係数が1なのでx^2+bx+c=(x-p)(x-q)=0
と定まります.
***
これを一般化したのが因数定理で高校で学びます.
"xのn次方程式f(x)=0がx=αを解に持つならば, f(x)は(x-α)を約数にもつ. したがってf(α)=0"
***
ゲストさんのやり方で本問を証明するなら
x^2+bx+c=0の解は解の公式からx={-b±√(b^2-4ac)}/2である.
ここでp={-b+√(b^2-4c)}/2, q={-b-√(b^2-4c)}/2としても一般性は失われない.
このとき(x-p)(x-q)=x^2-(p+q)x+pq=x^2+bx+c=0となるので与えられた命題は証明された.
***
以上3通りの証明を与えました. 自分で理解できるものをしっかりマスターしましょう.

Answer 3

ナヨンペン

２つの解 p,qとは、2次方程式を解の公式で解いて、出てきた解のことです。

簡単な例で言うと
x^2+2x-3=0
これを解くと x=-3,1です
因数分解すると
(x+3)(x-1)=0