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(1)これは普通に因数分解すれば解けます.
x^2+2x-15=0⇔(x+5)(x-3)=0⇔x=-5, 3
①の解の大小をα<βで定めたので, α=-5, β=3となります.
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(2) 穴埋め問題では誘導にしたがって解くことが大事です.
上手く作られていない問題だと, 論理的ギャップが異常に大きいこともあるので, そこを自分で埋めてやることが大事になります.
もし海外[簡体字が透けて見えるので中国の方でしょうか?]から留学を志していらっしゃるのなら, この作業は大変かもしれません.
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b=a^2+12aと置き換えると, 2x^2+3x+b=0
この2次方程式が相異なる実数解を持つためには
判別式D=3^2-4*2*b>0⇔9-8b>0⇔b<9/8 [問われていませんが, 隠れた条件になっています.]
一方, 2次関数y=2x^2+3x+bとx軸y=0との交点のx座標がγ, δであるとみなすことが出来る[グラフは自分で書こう].
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そこで条件α<γと2次関数の単調性から
α<γならばf(α)>f(γ)=0[この区間では単調減少ですね. グラフから判断するといいでしょう. γはf(x)=0の解なのでf(γ)=0です.]
が成り立つので, f(α)=f(-5)=2*(-5)^2+3*(-5)+b>0⇔50-15+b>0⇔b>-35
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また条件γ<β<δと2次関数の凸性[γとδの間に頂点があってそこが最小値. f(γ)=f(δ)=0なのでf(β)<0がいえます.]から
f(γ)=0>f(β)<0=f(δ)
が成り立つから, f(β)=2*3^2+3*3+b<0⇔27+b<0⇔b<-27
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b>-35ならばa^2+12a>-35[置き換えb=a^2+12aを元に戻す]⇔a^2+12a+35>0⇔(a+7)(a+5)>0⇔a<-7, -5<a
b<-27ならばa^2+12a<-27⇔a^2+12a+27<0⇔(a+9)(a+3)<0⇔-9<a<-3
求めたいのは共通部分[条件α<γかつ条件γ<β<δでα<γ<β<δ]なので
-9<a<-7, -5<a<-3
詳しく解説してくれて、ありがとうございます！
はい、中国人です！細かいことからわかって、すごいですね！
このままではf(x)が定義されていないので
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一方, 2次関数y=2x^2+3x+bとx軸y=0との交点のx座標が…
を
一方, 2次関数y=2x^2+3x+b[右辺のxに関する関数をf(x)と定義する]とx軸y=0との交点のx座標が
としてください.