✨ ベストアンサー ✨
最大公倍数を仲介役にすることが鍵です.
***
2つの正整数a, bの最大公倍数をg, 最小公倍数をℓとすると
a+b:=ga'+gb'[:=は定義する. a'とb'をこのように定めたということです.]=g(a'+b')=1092=2^2*3*7*13
ab=ga'b'=3528=2^3*3^2*7^2
と書くことが出来ます.
ここでa'とb'は互いに素なのでa'+b'とa'b'は互いに素であることに注意すると
[教科書で証明したとは思いますが, 後で付け足します★],
g=2^2*3*7と定まります. したがって
a'+b'=13
a'b'=2*3*7
a'とb'を解とするxに関する2次方程式は
x^2-13x+(2*3*7)=0
である. これを解いて
⇔(x-6)(x-7)=0⇔x=6,7 [13<2*7なので13=7+6=7+2*3と絞ってもいいです. こちらの方が整数問題らしい解き方.]
以上から考えられる2つの正整数の組は2^2*3*7*6=504と2^2*3*7^2=588です.
***
★の証明
abとa+bが互いに素でないと仮定します.
共通の素因数をkとすると, abに着目するとaかbが素因数kをもつ, またa+bに着目するとa+bが素因数kをもつわけです.
これが同時に満たされるためにはaもbも素因数kをもたなければなりませんが, これは仮定に反します[背理法]
したがってabとa+bは互いに素だと結論できます..
すいません. こちらも訂正してください.
ℓ=ga'b'=3528=2^3*3^2*7^2
[a=ga', b=gb'なのでab=(g^2)a'b'です]
回答ありがとうございます🙇♀️
解説が丁寧ですごい理解しやすかったです。
酷いミスをしていました. 訂正します.
最大公倍数 -> 最大公約数
です.