1. to liveだとliveは「住む」ですが、他動詞ではないので、
live inにする必要があります。
逆に、他動詞の使い方しかないのであれば、前置詞は
いりません。
3. 文の構造がおかしいです。
関係代名詞のwhichで表すのであれば、
which they live in や in which they live や where they live みたいな
形でないといけません。
関係代名詞は文と文を連結して表現する役割なので、
for living in が文として成り立っていないのでダメなんです。
4. 今度は逆に、3よりは正解っぽいですが、ダメです。
なぜなら、主語が入っていないからです。
もし、in which livesではなく、in which they liveだとすれば、
3の時の解説のように大丈夫なのです。
