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相関係数にもれっきとした意味があり、それを考えることは非常に有益です。ちょっと難しい話になるかもしれませんが、定義は証明できないからと思考を放棄してしまうのはよくないと思います
そもそもの目的は、２つの変量x,yが与えられたときにそれらの相関を調べることです。"散布図"を描けば視覚的に捉えることもできますが、もっと誰にでも納得がいく統一的な指標がほしいですし、パソコンに計算させる場合は散布図だと画像判断に高度な技術を要しそうです。
そこで変量の相関を数値化する方法を考えます。その１つが"共分散"です。各項目ごとにx,yの偏差を掛け、足し合わせることで、x,y間の相関の指標になります。つまり、
・共分散の正負 ⇔ 相関の正負
・共分散が大きい ⇔ 相関が大きい
が言えます
しかしながら、共分散は変量の相関をはかる上で重大な欠陥があります。共分散はデータの散らばりや単位に影響を受けてしまうのです(画像参照)。そこで、データの散らばり具合や単位に影響されないように、共分散をxとyの標準偏差で割ったものを"相関係数"と名付けて相関の指標としたのです
脚色は多少あると思いますが、お役に立てたなら良かったです
え、とてつもなく納得できました。そういう経緯があってこの式になったんですね。教科書で調べてもネットで調べてもいまいちよく分からなかったけど、とてもスッキリしました。
定義であるから不変のものであることも理解できましたが、経緯まで知れたのでよかったです。丁寧にありがとうございました。