tanθにおいて、θが何を指すのか落ち着いて確認しましょう。ずばり言うと、tanθにおいてθが指すものは、tanθがその値になる時の角度です。このことを把握しながら解くと着実に解答に近づいていきますよ。
（1）
tanθ＞-1 ですが、まずtanθが-1になる時のθの値を考えると、θ=3π/4,7π/4 ですね。tanθは0≦θ＜π/2並びにπ≦θ＜3π/2のときは正であり、π/2＜θ≦π並びに
3π/2＜θ≦2πのときは負でしたね。tanθが負となる時、θの値が大きくなるにつれてtanθも大きくなりますから、π/2＜θ＜3π/4並びに3π/2＜θ＜7π/4のときはtanθが-1よりも小さいことがわかりますね。よって、この範囲を除いたものが答えになります。
したがって、0≦θ＜π/2,3π/4＜θ＜3π/2,7π/4＜θ≦2πとなります。（間違ってたらすいません。）
（2）
まず評価しやすいようにtanθがどういう範囲をとるのかを把握します。tanθ＜-√3/3となりますね。あとは、（1）と同様に考えてやると答えが出ますよ。
答えは、π/2＜θ＜5π/6,3π/2＜θ＜11π/6ですかね。
（これも間違ってたらすいません。）
回答
単位円を使った方法とグラフを使った方法です。
これでどうかな？
グラフの赤いラインの部分を見てください。
この解答と一致しているのですが、どうでしょうか。
分かりました!
ありがとうございます☺️
疑問は解決しましたか？
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追加で、こういった三角比の問題はいちいち単位円をかきましょう。いち早く解答を導くのに必要です。三角比の問題を得意分野にできますよ。