Question

れい

A,B,C,Hが同一平面上にあればHの位置ベクトルは
OH=αOA+βOB+γOC,α+β+γ=1
になるはずだと思うんですけど、どういうことですか？

内心、外心、垂心、重心

三角形 ABC の内心を 1 外心を Q、 乗心を H, 重心をGとする. 三角形の
3辺の長きを AB=/、BC=ニ、CA=カヵ で表すことにする。、ベクトル Oi,
OH、0G を、ベペクヶトル OA、OB、 0OC の1次粘合として表せ.

  
  
  
 

(和歌山県医大) ジ

⑪) CO の延長が外接円と交わる点を D, BC の中点をMと
すると, DB, AH はともに BC と垂直ゆえ
、DBZAH 同様に、DAZBH
すなわち、四角形 DBHA は平行四辺形である.
の に  DB=AH
また, 0はCD の中点でOMZDB ゆえ
)B=ー2OM, AHZOM  … AH=20M
G昔=0A+AH=0A+20M=0A+0B+0C

Answer 1

gößt

少し誤解がありますね
Hが平面ABC上にあるならば必ず
OH＝αOA+βOB+γOC, α+β+γ=1
でなければならないということではなく、そのような形に表すこともできるというのが正しいです
ここではOA,OB,OCが一次独立ではないため、色んな表し方があります

今回の問題の場合、
OC＝sOA+tOB
と表されるはずですから、
OH＝OA+OB+OC
＝OA+OB+(sOA+tOB)
＝(1+s)OA+(1+t)OB
となり、これは
＝{(1+s-t)OA+(1-s+t)OB-(1+s+t)OC}/(1-s-t)
と変形できます。これなら確かに係数和が1になっていますね

れい

なるほど、後半部分は理解できました。しかし、A,B,Cは三角形を作るので同一直線上にはなく、ベクトルOA,OB,OCは一次独立なのでは？と思ってしまいます

gößt

２つのベクトルOAとOBが一次独立であるための条件は3点O,A,Bが同一直線上にないことですが、３つのベクトルOA,OB,OCの場合は4点O,A,B,Cが同一平面上にないことです。なのでこの場合は一次独立ではないのです

れい

あーなるほど!すっきりしました
ありがとうございます

gößt

いえいえ(｀・ω・´)
解決してよかったです

Answer 2

访客

それが成り立つのは空間の時だけです

れい

空間内で成り立つならば、その空間に含まれる平面でも当然成り立つと考えられませんか

访客

成り立たないですよ

访客

始点Oは平面ABC上に無い点です

れい

ですから、始点Oが平面上にあってもなくてよいはずです。標問にもそう書いてあります。

访客

O'を平面ABC上にある点とするとHが平面ABC上にあるための条件はO'H↑=sO'A↑+tO'B↑(s+t=1)=s'O'B↑+t'O'C↑(s'+t'=1)
じゃないですか？
標問の何ページにそれ書いてました？

れい

標問p349例題156(1)の精講の欄です。平面上の点を表すベクトルを始点Oに変形する問題です。

访客

その問題だとOは任意の点(平面上になくてもよい)ですよね、写真の問題だとOは△ABCの外心なのでOH=αOA+βOB+γOCかつα+β+γ=1は成り立たないと思います。

れい

そうなんです、そこが理解できないんです。任意の点を始点にして成り立つのに外心Oが始点だとなんでめなのかがわかりません。

れい

解決しました。空間内のベクトルが一次独立であることの条件を見落としていたようです。回答ありがとうございました🙇