必要です.
-2(含まない)<x<0(含まない)ではない区間というのは写真のようにx≦-2, 0≦xです.
もしx<-2, 0<xならば-2<x<0との和集合を考えると実数全体にはなりませんよね.
どうやって解いたのか分からないので何ともコメントしにくいです.
というわけで解いてみます.
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まず方程式は実数解をもつので判別式D=(a+2)^2-4(-a+1)≧0⇔a(a+8)≧0⇔a≦-8, 0≦a.
また-2<x<0の範囲に実数解をもつからf(x)=x^2+(a+2)x-a+1とするとf(-2)f(0)<0
⇔(1-3a)(1-a)<0⇔(a-1)(3a-1)<0⇔1/3<a<1
以上から少なくとも1/3<a<1であることが必要である.
また重解条件を含まないのでx^2+(a+2)x-a+1=0は1/3<a<1の範囲にあるとき, 必ず実数解を2つもつ.
ここで7/3<a+2[-(α+β)]<3, 0<1-a[αβ]<2/3なので解と係数の関係よりもう一方の解は負である.
したがってもう一方の解は少なくともx≦-2にある. 以上から1/3<a<1で必要十分である.
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[別解] aで分離する
x^2+2x+1=-a(x-1)と変形すると, 放物線y=(x+1)^2と点(1,0)を通る直線y=-a(x-1)との交点に帰着できる.
ビジュアル的にはこちらの方が楽そうですが...
[訂正] ごめんなさい. ひどい間違いをしていました.
また-2<x<0の範囲に実数解をもつからf(x)=x^2+(a+2)x-a+1とするとf(-2)f(0)<0"は間違いです.
-2<x<0の範囲に2つ解があればf(-2)f(0)>0ですからね. そこで下のように場合分けします.
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実数解条件の下でa≦-8, 0≦a
(i)-2<x<0の範囲に2つの解がある場合
f(-2)>0かつf(0)>0 かつ軸: -2<-(a+2)/2<0であることが必要
⇔a<1/3かつa<1かつ-2<a<2⇔-2<a<1/2だが実数解条件を満たせないので不適.
(ii)-2<x<0以外にもうひとつの解を持つ場合
これは上の議論でOKです.
これは論理を問うている問題で, ほとんどの高校生が苦手とするトピックだと思います.
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f(x)=(x+1)^2-3⇒f(-1)=-3が最小, f(-2)=-2, f(2)=6が最大 [上に凸な放物線]
g(x)=-(x-1)^2+(a+2)⇒g(1)=a+2が最大, g(-2)=a-7が最小, g(2)=a+1 [下に凸な放物線]
グラフは自分で書いて見てください. もちろんグラフの関係は各問題で違います.
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(1)は同じx(-2≦x≦2の適当な場所で固定されている)で比較している
(3)はx_1, x_2が-2≦x≦2の任意の値をとれる.
ところに違いがあります.
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(1)両関数の凹凸から条件を満たす場合, 端点x=±2に近づくほどf(x)とg(x)は近づきます.
したがってf(-2)<g(-2), f(2)<g(2)であればよく, -2<a-7かつ6<a+1からa>5.
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不等式だけで解くなら-2≦x≦2ならば0≦2x^2≦8である
f(x)<g(x)ならばx^2+2x+2<-x^2+2x+a+1⇔2x^2<a+3
したがって8<a+3⇔a>5が成り立てば-2≦x≦2のすべてのxで条件が成り立つ.
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(3)x_1とx_2はすべての-2≦x≦2をとれる.
f(x_1)<f(x_1)max[f(x)の最大値]<g(x_2)min[g(x)の最小値]<g(x_1)が満たすべき条件で6<a-7⇔a>13
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(2)と(4)はある1点で条件が満たされればOKです.
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(2)この場合は2x^2=0のとき成り立てば十分で0<a+3⇔a>-3
(4)この場合はf(x_1)min[f(x)の最小値]<g(x_2)max[g(x)の最大値]であればよく, -3<a+2⇔a>-5
[訂正]
f(x):下に凸, g(x): 上に凸
に変更してください. グラフを書けば山の向きで分かると思いますが
場合分けの三つ目と四つ目で、x＝ー2とx＝0のときについて調べるかは2つ目の場合分けでは必要ないのでは？と思いましたけど、、？