Question

ゲストmeru_0531

（４）を教えてください

AD =18 cm の直方体である<
1 GA

cm

人4 下の図に示した立体 ABCD一EFGH は, ABデAEデ6
線分 BD の中点をM とするとき, 四面体 BGHM の体積を求めなさい*

Answer 1

ゲスト

27cm³で合ってますか？

ゲストmeru_0531

54cm²と答えはなってます…
やり方分かったら教えてください

ゲスト

失礼しましたm(__)m

考え方としては直方体から４つの立体図形を引けば四面体BGHMが求められます。

直方体ABCD-EFGH=6×6×18　…①

平面BFHDで半分に切断すると、
四面体BGHMは線分CGを含む側に含まれているので
線分AEを含む側は不要になります。
三角柱ABD-EFH=①×½=6×6×18×½ …②

四面体BGHMの下の部分は、底面が△FGH,頂点がBの三角錐なので
B-FGH=(6×18×½)×6×⅓　…③

四面体BGHMの手前BCを含む部分は、底面が△MBC,頂点がGの三角錐なので
G-MBC=(6×18×¼)×6×⅓　…④

四面体BGHMの右側CDを含む部分は、底面が□CGHD,頂点がMの四角すいなので
M-CGHD=(6×6)×(18×½)×⅓　…⑤

四面体BGHM=①-(②+③+④+⑤)=54 cm³

※もし必要であれば後で図形を貼付しておきます。

ゲストmeru_0531

図形を見せてください！

ゲスト

図①の色の付いた部分が四面体BGHMです。

図②
平面BFHDで半分に切断すると、
四面体BGHMの面であるMBHは平面BFHD上にあることがわかります。

図③
四面体BGHMは点Gを含むので、平面BFHDで切断すると
点Gを含む側に含まれていることになります。
よって点Aを含む側の残り半分は不要になります。

図④
四面体BGHMのBGHを底面と考えると、底面より下は不要な部分になります。
(B-FGH)

図⑤
少しイメージしづらいかもしれませんが、四面体BGHMの面MBGは面BFGCから中心Mに向かって傾いていますよね。上から見ると、△MBCの分だけ内側に入っているイメージです。底面を△MBCと考え、頂点をGとした三角錐の分だけ不要な部分になります。
(G-MBC)

図⑥
最後は四面体BGHMの面MGHの上に乗っかている部分です。
底面が□CGHD,頂点がMの四角すいになります。
(M-CGHD)

よって直方体を半分に切断し、そこから
③(B-FGH)
④(G-MBC)
⑤(G-MBC)
を引けば四面体BGHMの体積になります。