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終わった話に何ですから適当なところで消します。
確かに、本来この手のは逆の確認がいります。
f'( )=0を解いて出た値に、
極値を与えないものが混じることがありますから、
そういう意味で逆の確認がいります。
たとえば、この問題とほぼ同じ設定で、
「x=(1+√3)/2で極大値をとるとき、
その極大値とmの値を求めよ」……(＊)
だったら、同様に計算して
m=3√3、極大値(27+3√3)/2となりますが、
逆の確認をすると、m=3√3のとき、
x=(1+√3)/2では極値をとらず、解なしとなります。
----------脱線----------
厳密にいうと、(＊)は2通りの解釈があるようで、
「極大値をとるとしたらmはいくつか」と捉えれば
該当のmはない。解なし、となります。
「極大値をとる（確定）。mはいくつか」と捉えれば
不備あり。全員に点を与えるなどの措置。
となるかもしれません。
----------脱線終----------
ですからやはり、もとの問題では
m=4のあと増減表をつくるなどして
x=1の前後で増加、減少を確認する
（これは多少面倒ですが、
気にされているほどでもありません。
f'(x)=0がx-1を因数にもつことを踏まえて
(x-1)(2x^2-x-4)=0まで整理できればあと少し）
こと、すなわち逆の確認はいるのかなと思います。
ただ、解説を擁護すれば、
上の「脱線」の後者の立場に立って、
極大値をもつ前提であれば、
この解説でもありかなとも思います。
教育的には逆の確認やそれをしなかった理由を
書いてもらった方がいいと思いますが。
採点は画一的でなく、大学によります。
また、採点者、答案内容にもよります。
この問題に限って言えば、これは主観ですが、
逆を確認しなくても丸にする可能性は十分あります。
なぜなら、この問いの主眼の一つが
見通しよく式をいじれるか
（文字が何種類もあることに惑わされないか）
と思われるからです。
逆の確認を問いたければ、
もっとシンプルで適切な問題が作れるはずで、
この問題でそこも問いたいにしては、
やや計算が面倒になります。
とはいえ、上で述べたようにこれは主観で、
私は責任を取れませんから、
逆の確認は必要だと思う、と言うことになります。
長くなりましたが、
見当違いのことを言っているかもしれませんのでご注意。
わざわざ回答ありがとうございます。
つっかえが取れた感じです。
上のたとえばの問題(＊)の概略です。