✨ ベストアンサー ✨
こんな感じですね。😀
あと、(2)でのやってる事が全体的に理解出来ないので教えてください。
この問題の背景には大学でやるε-δ論法というのが絡んでいます。なので、ちょっとややこしい解き方になっていますね。
特にこの問題を解くのに使われている定理は
｢有界な単調数列は収束する｣というものです。
(1)では数列の有界性(ある一定の範囲に数列が収まるか)を調べ、(2)では数列の単調性(単調増加or単調減少)であるかを調べています。
そして、(3)では(1)、(2)より先の定理が使えるのでその極限値を求めています。 だいたいこんな流れです。
さて、問題の(2)では問題文より数列{3−a[n]}が単調減少である事を示せれば良いので、
とりあえず 3-a[n+1]から変形していきゴールを目指します。
ここで、右辺には3-a[n]という形が登場して欲しいので、=で結ばれた先を上手く有理化してその形を作っています。
しかし、まだ=で結ばれているので何とか < (小なり)の形に持っていきたいです。
ここで、係数にある1/2+√(1+a[n]) が1/3より小さければダイレクトに(2)の式に持っていけそうだなと思います。そして、それを153ページ1行目から示しています。
思った通り大小関係が定まったので以上より数列{3-a[n]}は単調減少である事が分かりました。
こんな感じですね。😀
なお、(1)では数列a[n]の有界性しか調べてないように思えますが、
0<a[n]<3 ⇔ 0< 3-a[n] <3 より
同時に 3-a[n] の有界性も保証されてるので、(2)以降は数列{3-a[n]}についての議論を進めることが出来ます。
ご丁寧にありがとうございます(*^^*)
ありがとうございます(*^^*)