Question

なみ

この問題は相加平均相乗平均を使うのですが、どんな時に使えばいいかわかりません。解説お願いします！

っ          テー

Mr

民を証明せよ

不等式の証明 相加平均 相乗平均

Answer 1

LUX SIT

既知の不等式を利用するときは成立条件と等号成立条件を理解することが大事です.
この問題の場合は
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a>0, b>0[正の実数である2変数]ならば
(a+b)/2[相加平均]≧√ab[相乗平均]
が成り立つ. 等号が成立するのはa=bのときである.
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(1)まずa>0, 25/a[この塊をbと見なす]>0であることを確認します.
相加平均・相乗平均の関係からa+25/a≧2√{a*(25/a)}=10.
等号成立はa=25/a>0. すなわちa=5のときである[等号が確かに成り立つことを確認します].
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(2)と(3)も同じように考えることで解けます.
abと1/ab, b/aとa/bのように逆数の関係にある場合は積をとると定数になります.
このことを利用して最大・最小問題を解くこともできます.
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(4)は一見悩むかもしれません.
1/(a+b)の形に着目すればa+bと1/(a+b)が逆数の関係に気付いて解けるはずですね.
このように複雑な問題では塊をどう見るかが問題を解くカギになります.
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以上を参考に(2)-(4)を解いてみましょう.