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①
AP+PCが最も短くなる時、∠OPA=90°となります。
点OからABに下ろした垂線とABとの交点を点Mとします。
すると、△OBMと△ABPは相似になります。(共通角∠Bと90°より)
△OBMにおける辺の比は1:2√2:3だったので、△ABPにおける辺の比も同様になります。
よってAB:AP=3:2√2より、AP=2÷3×2√2=(4√2)/3
AC=AP×2より、AC=(8√2)/3となります。
③
△ABCは直角二等辺三角形なので、三平方の定理よりAC=2√2となります。
AH=HCより、AH=√2となります。
ここで△OAHに注目して三平方の定理を使うと、OH^2=3^2-(√2)^2=7
よってOH=√7となります。
最後に正四角錐の体積は(2×2)×√7÷3=(4√7)/3となります。
ありがとうございます！