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メルカトル級数ってご存じないですかね？知らなければググっておいて欲しいです。
メルカトル級数はlog2に収束する有名な交代級数の1つで、画像にあるものは6行目にあるΣのnとkの式を巧妙な式変形で導き出す証明法です。この式変形は知ってないと難しいと思います。なのでこういうものだと知るしかないと思います。
他にはx=0〜1の範囲で1-x+x^2-...の積分と等比数列の和の式を用いた証明法や、マクローリン展開をご存じであればlog(1+x)のマクローリン展開を用いた証明方法もあります。知っておいて損はないです。
また、ライプニッツ級数やバーゼル問題など、他にも有名な級数があるので調べておいてください。
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最後は1/2nとかいていますが、1／n＋nによみかえてください。