回答

結果的にいえば、強調構文が使われていて、matterは動詞で「重要である」という使い方があるから。

まず、構造をしっかり捉えると、
It is not A but B that V.
つまり、
強調構文なので、
元々、
not A but B V.
という文の、not A but Bという主語を強調したいから、
It is - thatの間に入れて、
そのthatの後に残りのVを入れました。
従って、
コストではなく、そのサービスの質こそが重要である。
という解釈になります。

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