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グラフを用いて証明するためにはx軸との共有点が１つであることを示します。
そのためには
・x→±∞のときy→±∞（複合同順）
・単調増加関数である（極値なし）
ことを示せば十分です。
単調増加関数であることは質問者様の回答で十分ですので１つ目の「x→±∞のときy→±∞（複合同順）」をここで示します。
わからなければ質問してください。
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でもy’>0だけでも十分正解になると思います。