ポイントは次数を決定することですね
いろいろやり方はあると思うですが小さい順にやっていけばいつか見つかりそうです
P(x)をx²+2x+3で割った商をQ1(x), x²+2で割った余りをQ2(x)とする.
[1] P(x)の次数が0のとき, P(x)をx²+2x+3で割った余りがx+4(1次式)より不適.
[2] P(x)の次数が1のとき, x²+2x+3とx²+2はともに2次式であるのでQ1(x)=Q2(x)=0となる
このとき, P(x)=ax+bとおくと, ax+b=x+4かつ ax+b=-1 これを満たすa,bは存在せず不適
[3] P(x)の次数が2のとき, P(x)=ax²+bx+cとおける
P(x)をx²+2x+3, x²+2のそれぞれで割ってみるとどちらも商はaになるので Q1(x)=Q2(x)=a. よって
ax²+bx+c = a(x²+2x+3)+x+4 = ax²+(2a+1)x+(3a+4)
ax²+bx+c = a(x²+2)-1 = ax²+(2a-1)
よって 2a+1 = 0 かつ 3a+4 = 2a-1 これを満たすa,bは存在せず不適
[4] P(x)の次数が3のとき, P(x)=ax³+bx²+cx+dとおける
P(x)をx²+2x+3で割ってみるとQ1(x) = ax+(b-2a)
P(x)をx²+2で割ってみるとQ2(x) = ax+b
ax³+bx²+cx+d = (x²+2x+3)(ax+(b-2a)) + x+4 = ax³ + bx² + (2b-a+1)x + (3b-6a+4)
ax³+bx²+cx+d = (x²+2)(ax+b) -1 = ax³+bx²+2ax+2b-1
よって, 2a=2b-a+1, 3b-6a+4=2b-1 これを解くと a=b=1
より P(x)=x³+x²+cx+d
これをx²+2で割ると x+1 余り (c-2)x+(d-2)となるので c-2=0 かつ d-2=-1 より c=2, d=1
P（x）=x³+x²+2x+1
このときx²+2x+3で割ると x-1 余り x+4となって適する.
よって P(x)=x³+x²+2x+1
まだなにかいい方法がありそうですが、思いつきませんでした…
ありがとうございます！順を追うと解けるんですね😳 分かりやすかったです