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√2 が無理数であることの証明。
√2が有理数，すなわち
√2=n/m (n,mは自然数かつ互いに素) と仮定すると
仮定より，
2=n²/m² ⇒ 2m²=n²
となるので nは2の倍数，すなわち
n=2ｋ(ｋは整数) ，これを上の式に代入すると
2m²=(2ｋ)² ⇔ m²=2ｋ²
となりmも2の倍数であることがわかる。
しかし，これは仮定の｢n,mは互いに素｣という条件に反するので矛盾。
従って，仮定は誤りであり√2は無理数である。
素数が無限個あることの証明。
素数が有限個しかない，すなわち最大の素数 P[n]
(nは自然数)が存在すると仮定する。(ただし，P[ｋ]はｋ番目の素数を意味する。)
ここで、P[1],P[2],･･･,P[n] までの積に1を加えた
自然数Nを考えると，
N=P[1]×P[2]×P[3]×･･･×P[n]+1
であり，Nはいかなる素数で割っても1余る自然数である。
従ってNは1より大きいので，n+1個目の素数Pを素因数に持つことが分かる。
これは素数がn個であることに反する。
よって、素数は無限個存在する。
この2題が最も有名な背理法の証明問題だと思います。😀
