Question

M子

波線部の積分がなぜ-1/tanxになるか分かりません。

積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

tanx=tとおく
両辺微分して
(1/cos²x)dx=dt
→　(1+tan²x)dx=dt
→　dx＝(1/(1+tan²x))dt
→　dx＝(1/(1+t²))dt…*

1+tan²x=1/cos²x、cos²x＝1-sin²x　から
→　1+t²=1/(1-sin²x)
→　1-sin²x＝1/(1+t²)
→　sin²x＝1-1/(1+t²)
→　sin²x＝t²/(1+t²)
→　1/sin²x＝(1+t²)/t²

∫(1/sin²)xdx＝∫(1+t²)/t²×1/(1+t²)dt
→　∫1/t²dt
→　-1/t+C
→　-1/tanx+C

M子

回答ありがとうございます。この場合はtをtanx以外に置いたら解けない問題ですかね、？

きらうる

確かにtax=t　とおく発想は思いつかないですよね。

他のやり方ですと、
x=π/2-tで置換するやり方などがあります。

両辺微分して、dx=-dt　より、
∫(1/sin²x)dx
=-∫{1/sin²(π/2-t)}dt
=-∫(1/cos²t)dt
=-tant+C
=-tan(π/2-x)+C
=-1/tanx +C

書いてみると、こっちのが楽かな。

M子

sinをcosに変換するためにπ/2-tと置くのですね。ありがとうございます。

Answer 2

回答オンリー

これは準公式と呼ばれるくらい重要なので添付画像のように覚えておくのが一般的です。入試本番で置き換えをしている受験生はいません。

M子

回答ありがとうございます。質問とずれてしまうのですが、他にも覚えておいた方が良い積分の準公式のようなものはありますか？

回答オンリー

あります！まさに以下です。理系大学受験する生徒なら瞬時に出ないといけません。

https://examist.jp/mathematics/integration/sekibunkousiki/

あとはこれをつかえるようにガンガン計算練習してください。受験の月は神サイトですよ。まずはこのサイトにある基礎の計算だけでいいです。