Question

欅

2番を教えてください。お願いします。

ァ を自然数とするとき, 次の問いに答えよ。
(0 一広 記填3記十9をはともに6の倍数であることを示せ。

②   すすe+す はつねに整数であることを示せ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

エルゼ

ラフに書きましたがこんな感じだと思います！

エルゼ

考え方の手順としては
整数を示す→分数が綺麗に約分できる
ということなので、
最初に通分し、その後分子を6で割り切れることを示す、という方向に持って行きました！

ちょっと字が汚めですいません💦

エルゼ

もし分子が連続3整数にならない時(だいたいはなるんですけど)もしくは分母が6じゃない時などは、ほかの方の解答のように数学的帰納法でも表せますが、

数1aの範囲でならば、「連続3整数を思いつくか、うまく使えるか」というところが本問の鍵だと思います

欅

回答ありがとうございます！とても分かりやすいです！

エルゼ

よかったです！整数問題むずいの多いですけど頑張ってください！

Answer 2

ルーシー

数Aの範囲までということでしたので割った余りで分類するやり方(合同式を利用)が一般的だと思います。
n(n＋1)(2n＋1)/6まで変形したら

nを6で割った余りで分類する。
n≡0(mod6)のとき　n(n＋1)(2n＋1)≡0(mod6)
以下,mod6を略す。
n≡1, -1のとき　n(n＋1)(2n＋1)≡6≡0
n≡2, -2のときn(n＋1)(2n＋1)≡30, -6≡0
n≡3のとき　n(n＋1)(2n＋1)≡84≡0
以上より,題意は示された。

欅

回答ありがとうございます！合同式を用いて解くこともできるのですね！

Answer 3

τ

n³/3 +n²/2 +n/6=(2n³+3n²+n)/6であるから
2n³+3n²+n－①が6の倍数であることを示せばよい.
これを数学的帰納法により示す.

[i]n=1のとき, ①は成立する.

[ii]n=k (k: 自然数)で成立すると仮定すると,
①はn=k+1で2(k+1)³+3(k+1)²+(k+1).
整理して, (2k³+3k²+k)+6(k+1)².
6(k+1)²は6の倍数だから, ①はn=k+1で成立する.

[i], [ii]より, ①は任意の自然数nで6の倍数であるから, 与式は常に整数である.　□

τ

ああ, 皆さんの回答見ると, ∑公式と一致することから直ちに言えるみたいですね...長らく数Bをやっていないもんで忘れてました.
皆さんの方法の方が確実によいと思います.

欅

回答ありがとうございます。いえいえ。数学的帰納法でもできるのですね！いろいろなやり方が知れて嬉しいです！

Answer 4

家系ラーメン好き

シグマ公式と一致します

欅

回答ありがとうございます！ちなみに数学aの範囲で解くことはできますか？？シグマを用いないで。。

家系ラーメン好き

いつのまにかメチャクチャ盛り上がってますね笑

ちなみに連続n整数の積はn!の倍数になります。
ご参考までに

欅

ありがとうございます！そうですね！たくさん回答がついて驚きです。