等式, 不等式の問題ですが, いずれも基本的な考え方が詰まった問題です.
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6. まず3変数もあって嫌だな, と感じたでしょう. a+b+c=0を使って変数を減らす方法を考えます.
a+b+c=0⇔c=-(a+b)なので,
a^3+b^3+c^3=a^3+b^3+{-(a+b)^3}=-3ab(a+b)=3abc [逆に-(a+b)=c]
と変形できる.
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[別解] a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)と因数分解できる.
a+b+c=0なのでa^3+b^3+c^3-3abc=0⇔a^3+b^3+c^3=3abc.
[この方法は対称性について習ってから見直してください.]
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7. 高校レベルで不等式というのは数直線上の比較と思えばいいです.
(ax+by)-(bx+ay)=(a-b)x+(b-a)y=(a-b)(x-y) [大小関係を調べるために差を調べる]
と因数分解できる. ここでa<b, x<yからa-b<0, x-y<0がいえ, その積は(a-b)(x-y)>0 [負の数の積は正]
以上をまとめるとa<b, x<yならば, (ax+by)-(bx+ay)=(a-b)(x-y)>0⇔ax+by>bx+ay.
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8. 相加平均・相乗平均の関係, a>0, b>0ならば(a+b)/2[相加平均]≧√ab[相乗平均](等号成立はa=b)を使います.
この関係は実は(√a-√b)^2≧0と同値です[展開して自分で確認してみましょう].
また少し式を変形したa+b≧2√abという形も使い勝手がいいので意識しておくといいでしょう.
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a>0, b>0ならばa/b>0, b/a>0が成り立つ. 相加平均・相乗平均の関係から
(a+b)(1/a+1/b)=1+a/b+b/a+1=2+{(a/b)+(b/a)}[逆数関係となるものを作ると積は定数]≧2+2√{(a/b)(b/a)}=4.
等号が整理するのはa>0, b>0, a/b=b/a, すなわちa=b>0のときである[等号成立条件の確認で=が確かに成り立つことを示します].
8. [訂正] 等号が整理するのは -> 等号が成立するのは
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[別解]
a>0, b>0ならば(a-b)^2≧0が常に成り立ちます.この式は
a^2+2ab+b^2≧4ab⇔a/b+2+b/a≧4⇔a/b+1+1+b/a≧4⇔(a+b)(1/a+1/b)≧4
と同値なので示されました.
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発想は相加平均・相乗平均の関係と(√a-√b)^2≧0との関係からです.
このように逆算的に証明を試みて上手くいくこともあります.