軸に踊らされている印象を受けます.
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y=-x(x-6)=-(x-3)^2+9と変形できることから, 関数y=-x^2+6xはx軸と原点, (6,0)で交わり, 点(3, 9)が頂点となる上に凸な放物線である.
[まずは範囲を絞らないでグラフを書いてみよう.]
a<3のとき, 関数y=-x^2+6x(0≦x≦a)は単調増加な関数なので, x=aで最大値M(a)=-a^2+6aをとる.
a≧3のとき, 関数y=-x^2+6x(0≦x≦a)は必ず放物線の頂点を含むから, x=3で最大値M(3)=9をとる.
以上からb=-a^2+6a(0<a<3), 9(a≧3)のグラフを書けばよい[これは問題ないと思うので略します].
[上で書いたグラフにx=aを書き込んでいこう. 頂点を含まない場合と含む場合で最大値がどのように変わるか考えてみよう.]
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[訂正] 理由は下のノートを読みましょう.
y=-x(x-6)=-(x-3)^2+9と変形できることから, "連続"関数y=-x^2+6xは
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[ノート] 2次関数の最大・最小問題
y=ax^2+bx+c [a≠0]のp≦x≦qにおける最大・最小値を求める場合
①放物線の凸性を確認しよう. a>0だと下に凸, a<0だと上に凸なので考え方が逆になります.
②まずは定義域を無視して図を書いてみよう.
③[i]a>0のとき, 最大値は端点を比較するだけでいいです. max{f(p), f(q)} [大きい方をとります]
[ii]a<0のとき, 最小値は端点を比較するだけでいいです. min{f(p), f(q)} [小さい方をとります]
④[i]a>0のとき, 最小値は頂点(軸)を含む場合とそうではない場合をまず考えます. 後者は関数の単調性[増加と減少の2種類]から議論します.
[ii]a<0のとき, 最大値は頂点(軸)を含む場合とそうではない場合をまず考えます. 後者は関数の単調性[増加と減少の2種類]から議論します.
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最小値と最大値は置かれている状況が違うので, 別々に考えた方が分かりやすいです.
ただし関数が区間で連続であることを述べておく必要はあります[不連続な関数の場合は単純ではありません].
多くの参考書はまとめて考察していますが, 私はそれがかえって難しくさせているような気がします.