My dream is to become a doctor.です
that節は、特定の誰かが現実に何かをしたという事実、考え、うわさを用いるのに使います。
to不定詞は、一般論や仮定を表します。
ここでの「わたしが医者になること」は既成事実ではないのでthat説は不自然です。
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