尊敬の助動詞「る」の終止形です。
「争は」が未然形。「べし」が終止形接続の助動詞なので、
「る」は、未然形接続、意味は、自発、尊敬、可能、受身
の四通りあります。
自発は、心情や知覚を表す動詞につくのが普通です。
尊敬は、主語が貴人（身分の高い人）の時にその意味で用いられます。
可能は、主に打消（反語）をあらはす語と共に用いられます。
受身は、その語の前に「誰々に〜、」という動作主がある時に用いられます。
今回の文では、消去法を用いて解くのが良いでしょう。
まず自発です。「争ふ」は、心情や知覚を表さないので、
自発ではありませんね。
可能は、この文の中に打消の語が入っていないので、違いますね。
受身は、動作主の語句が文に入っていないので、違いますね。
つまり、尊敬となります。
補足
この文は徒然草第135段に記されています。
このケースでは、
天皇の取り巻きや女官たちが、大納言や中将に向かって言ったので、尊敬語となります。
文章に関しては、徒然草第135段と調べていただければ、
現代語訳が見つかると思います。
ご丁寧にありがとうございます。
参考にさせていただきます^_^
尊敬ってどうやって見分けるんですか？