Question

yinyue

有理数と無理数の和、差、積、商がすべて無理数であることを証明せよ。
どやってやるのか教えてください

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ピタゴラス

積･商に関しては
√2×0=0 0/√2=0
のように有理数になることもあります。

上のタイプの例外を除くとして，無理数を証明したいときは大体背理法を使えば大丈夫です。

まず和･差ですが
r:無理数 q:有理数 として
r+q が有理数になると仮定すれば
r+q=P を満たす有理数｢P｣が存在します。
すると，等式
r=P−q
が成立し、｢P−q｣が有理数よりrも有理数となります。しかし，これはrを無理数としたことに矛盾します。従って，有理数と無理数の和(差)は無理数となります。

積･商に関してもほとんど同じで
r･q=Pを仮定すれば
r=P/qより｢P/q｣が有理数なのでrは有理数となります。これもまた矛盾が生じているので，有理数と無理数の積(商)は0のパターンを除いて無理数となります。

yinyue

ご丁寧にありがとうございます😊