✨ ベストアンサー ✨
素数がどのように分布するかという問題はとても難しく, 一般的な処方箋のようなものはありません.
問題集の例題と演習題はたまたま3の剰余類[3で割った余りに注目, mod 3]でうまくいった, という風に理解してください.
このタイプの問題は具体的に書き出して手探り, あるいは整数の連続性やある特殊性に着目して解いていきます.
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n, n+2, n+4がすべて素数となるような自然数nは3のみである[3つ子素数]
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[考え方]
*偶数の素数は2だけです[これはとても大事なことです].
*n, n+2, n+4の差は2ずつです[すべて偶数か奇数]. nが2ならば他のn+2, n+4は合成数になります.
*n, n+2, n+4=(n+1)+3と書けます. 3で割った余りを考えるとすべて異なることが分かります.
*上のことに気づかなかった場合, 具体的にnを代入して法則性を探し出します.
n=2: 2, 4, 6, n=3: 3, 5, 7, n=5: 5, 7, 9, n=7: 7, 9, 11, n=11, 11, 13, 15
ということで必ず3の倍数を含むことに気づきます. これを手掛かりに3の剰余類を考えます.
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nとn^2+2->nと(n+1)(n-1)+3 [これは数覚が優れた人しか思いつかないかもしれません]
これも連続する3整数が陰に隠れています. だから3の剰余類で分類するとうまくいくのです.
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文系の方なら愚直に代入して考えてくのが現実的かもしれません.
[研究]
最近の流行なのかもしれませんが, 上に述べたように連続する整数が背景となっている問題が非常に多いです.
連続するn個の整数のうち一つは2, 3, 4, …, n-1, nで割り切れる.
ということも頭に入れておくといいかもしれません[自然数1, 2, 3,…は差が1の等差数列と見る].
これを手掛かりに式を探してみる[たとえばn-1, n, n+1あるいはn, n+1, n+2で表される式]のもいいでしょう.
n^3-7n+9が素数となるような整数nを求めよ, という京大の問題がありますが, これはこの方針で解くことが出来ます.
ただ、ブランデンブルクさんの言う通り日々の演習で感覚を研ぎ澄ますことが大事です.
わざわざ詳しくありがとうございます。助かります。
反復演習で感覚を身につけようと思います。ありがとうございます。