Question

そら

お願いします

234 ァ+ッー2 を満たすヶ, ッに対して, 常に oz?十が"十exニ12 が
成り立つとき, 定数の の cの値を求めよ。

232 次の条件を満たす定数2。ヵの値を求めよ。
*1) ァヶ*十8ヶ“十5ヶ十2 が 209 で割り切れる。
(2) *"十gy“ー9ァ十5 を (ァメー3)| で割ると|余りが 12z-7 にな
る。
*233 等式 Zz十(2Zー1)ッー52填3ミ0 が」 の2のどのような値に対し
ても成り立つように, 。 2 の値を定めま

 

234 ァメオッー2 を満たすァ,。 に対して, 常に gs"十が"十cx三12 が
成り立つとき 定数2. の. cの値を求めよ。

Answer 1

LUX SIT

一通りの技術が身につくように解答を作成しました.
***
232
(1)3次式を2次式で割った商は1次式, 余りは1次式であることに注目すると
x^3+8x^2+5x+a=(x^2+3x+b)(x+5)[x^2について8となるように商を定める]-(b+10)x+(a-5b)
と書くことができる. 余りが0であるためにはb+10=0かつa-5b=0であればよく, a=-50, b=-10
(2)(1)と同様に考える. 剰余の定理から
x^3+ax^2-9x+b=(x-3)^2{x+(a+6)}+12x-7
と書ける. これはxについての恒等式で, xの項と定数項を比較すれば
x^1: -9=-6(a+6)+9+12, x^0: b=9(a+6)-7
これを解くとa=-1, b=38である.
[別解] 微分法を知っていれば
商の1次式をQ(x)とすれば剰余の定理から
x^3+ax^2-9x+b=(x-3)^2Q(x)+12x-7
これをxに関して微分すると
3x^2+2ax-9=(x-3)^2Q'(x)+2(x-3)Q(x)+12
それぞれの式についてx=3のとき
3*3^2+6a-9=12⇔a=-1, また3^3-3^2-9*3+b=12*3-7⇔b=38
となってa, bが定まった.
***
233
aについて整理するとa(x+2y-5)+3-y=0
これがすべての実数aについて成り立つためにはx+2y-5=0かつ3-y=0であることが必要十分.
すなわちx=-1, y=3であればよい.
***
234 一変数に揃えてもいいですが, 下のように考えてもいいです.
条件から
x=2, y=0のとき, 4a+2c=12
x=1, y=1のとき, a+b+c=12
x=0, y=2のとき, 4b=12
が成り立つ[必要条件から求める].
これを解くとa=-3 , b=3, c=12である.
このときax^2+by^2+cx=-3x^2+3y^2+12x=-3(x-2)^2+3y^2+12=-3y^2+3y^2+12=12
が常に成り立つ[十分性の確認]からa=-3, b=3, c=12.

LUX SIT

[訂正]
232
(1)3次式を2次式で割った商は1次式, 余りは1次式"以下"であることに注目すると

Answer 2

ゲスト

恒等式の問題ですね常に成り立つように係数を設定すればいいです