⑵の質問です。解答の下から3行は分かるのですが、その前がよく分かりません。分かりやすく教えていただきたいです💦お願いします🙇🏼♀️ 写真は、1枚目が問題、2枚目が解答です！

良問なりヒントは身近に書いてある

⑵の質問です。解答の下から3行は分かるのですが、その前がよく分かりません。

約6年前

たぶん問題の流れがよく分かっていないんですね.
x=2-iを直接x^3-3x^2+4x+2に代入して計算するのはしんどいです.
そこでx=2-iを解とする2次方程式を探します.
x=2-iが解なら共役なx=2+iも解なので解と係数の関係から
x^2-{(2-i)+(2+i)}x+(2-i)(2+i)=0⇔x^2-4x+5=0が得られます.
3次式を2次式で割った余りは1次式以下なので簡単に出来ます.
すなわち
x^3-3x^2+4x+2=(x^2-4x+5)[これが0](x+a)+bx+c
と書けるはずです[剰余定理の応用です]. 解答は実際に割り算して
x^3-3x^2+4x+2=(x^2-4x+5)(x+1)+3x-3
=3(2-i)-3=3-3i
と計算しているわけです.

大学1年生約6年前

なぜx＝2－iが解だとx＝2＋iも解になるのか、よく分かりません🌀剰余定理というのも初耳です💦

私は高1なのですが学校側が、数Ⅰの判別式を勉強するついでに、数Ⅱの一部を教えているという感じだから、分からないのかもしれません(-_-;)
語彙力低くて伝わらないかも…すみません。

今回の問題は、他の方の回答で理解できたので、大丈夫です！ありがとうございました( ¨̮ )

LUX SIT 約6年前

私が想定していたカリキュラムと随分違うようで混乱させたようです
[これはゆいさんに何の非もありません].
参考として説明を加えておきます.
***
ax^2+bx+c=0から複素共役をとると[習っていなければ結果だけを理解してもらうだけで結構です]
(ax^2+bx+c)^*=0 [上付き*で共役を表すことにします. 実数の複素共役はそれ自身です.]
a, b, cが実数であることに注意すると
a(x^*)^2+bx^*+c=0
が成り立ちます. したがってxと共役なx^*も解であるといえます.
これは実係数の代数方程式で成り立つ重要な定理で, 結果を知っておいて損はしないと思います.
***
剰余(の)定理はそんなに難しい話ではありません[残念ながら今は数IIに回されているようです].
多項式P(x)を(x-a)で割ったときP(x)=(x-a)Q(x)+r[1次式で割った余りは定数]と書けます.
x=aならばP(a)=rなので余りはP(a)で表されるというものです. 発想はこの問題と同じです.
この特殊な例が因数定理で
多項式P(x)が(x-a)で割り切れる⇔P(x)=(x-a)Q(x)[P(x)は(x-a)を因数に持つ]⇔P(a)=0
が成り立っています

大学1年生約6年前

なるほど…数学が深くなっていきますね笑

また、学校で習うときがきたら、ここに戻ってきて参考にさせていただいてもよろしいでしょうか？

丁寧な解説、ありがとうございました( ¨̮ )

LUX SIT 約6年前

おそらく何らかの理由がない限りこの投稿は消えないので大丈夫です☺
各単元ずつ勉強しているとそれだけに囚われがちだと思います.
ただ, この問題のように数学は色々な要素が絡み合ったり, それによって違った見方が出来ます.
だから変な先入観[たとえば定石絶対視]を持たずに問題を考えてみることも大事です.
下の京大の入試問題[これは剰余の定理で解くとやさしい]はそういう意味でも差がついた問題です.
(上の知識があれば解けるのですが, ゆいさんは1年なのでこの問題はかなり難しく感じると思います. )
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(1)3^√2が無理数であることを示せ[親切なヒントです].
(2)P(x)は有理数を係数とするxの多項式で, P(3^√2)=0を満たしているとする.
このときP(x)はx^3-2で割り切れる[余りが0と読みかえる. ここは京大らしいところでしょう]ことを示せ.
***
深さの点で言えば
複素係数の任意のn次多項式f(z)について, 方程式f(z)=0は解を重複を含めてn個持つ[代数学の基本定理].
n次の代数方程式がn個持つことは当たり前のように思えますが, 真面目に証明しようとすると高校範囲では無理です.
[複素数の性質, 微分積分の知識, 位相のこころ(これは大学レベルです)を知らないとダメです.　Fine,　Rosenbergerの本を大学に入ってすぐ読むと力がつきます]. こういう深さを何となくわかってもらえると数学も楽しくなるのではないでしょうか?