Question

ゲスト

手書きで見にくかったらすみません💦
この(3)の解き方を教えていただきたいです🙏

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Answer 1

としさん

(1)
　c=1のとき ①は
　(1+1/a)(1+1/b)(1+1/1) = 2
　(1+1/a)(1+1/b) = 1　②

　a>0,b>0より 1+1/a > 1 , 1+1/b > 1 なので
　(1+1/a)(1+1/b)>1 となる。
　これは ②を満たさないので 正の整数a,bは存在しない。

としさん

(2)
　c=2のとき ①は
　(1+1/a)(1+1/b)(1+1/2) = 2
　(1+1/a)(1+1/b) = 4/3

　両辺に3abを掛ける
　3(a+1)(b+1) = 4ab
　3ab+3a+3b+3 = 4ab
　ab-3a-3b-3 = 0
　(ab-3a-3b+9)-9-3 = 0
　(a-3)(b-3) = 12　②

　a,bは正の整数かつa≧bなので
　0≦b≦a
　-3≦b-3≦a-3 ③

　a-3,b-3はともに整数なので　③を条件として a-3,b-3の組み合わせを求めると
　(a-3,b-3)=(12,1),(6,2),(4,3) のみ
　∴(a,b)=(15,4),(9,5),(7,6)

としさん

(3)
　(1)より c=1のとき解なし
　(2)より c=2のとき (a,b,c)=(15,4,2),(9,5,2),(7,6,2)

　c=3のとき
　　(1+1/a)(1+1/b)(1+1/3) = 2
　　(1+1/a)(1+1/b) = 3/2
　　両辺に2abを掛ける
　　2(a+1)(b+1) = 3ab
　　2ab + 2a + 2b + 2 = 3ab
　　ab - 2a - 2b - 2 = 0
　　(a-2)(b-2) = 6

　　a≧b≧c=3 より a≧b≧3 となるので a-2≧b-2≧1

　　∴ (a-2,b-2)=(6,1),(3,2)
　　　　(a,b)=(8,3),(5,4)
　　　よって c=3のとき (a,b,c)=(8,3,3),(5,4,3)

　c≧4のとき
　　a≧b≧c≧4なので
　　(1+1/a)≦5/4
　　(1+1/b)≦5/4
　　(1+1/c)≦5/4
　　　よって (1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)≦5/4*5/4*5/4=125/64=1.95…
　　　　ゆえに c≧4のときは、(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=2となることは無い。
　　　従って c≧4 のときは (1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=2 は解なし。

　上記より
　　(a,b,c)=(15,4,2),(9,5,2),(7,6,2),(8,3,3),(5,4,3)