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交点はy座標が一致するので y=x²+1=mx より x²-mx+1=0 ①
交点のx座標は x²-mx+1=0 の解。
異なる2点で交わる ⇒ ①は異なる2実数解を持つ ⇒ 判別式＞0である。
正しくは、2点のx座標が同じ(縦に並ぶ)ことを考慮しなければならないが、
y=x²+1上の点は下に凸の2次曲線であり、縦に並ぶことは無いので除外してもよい。
D=m²-4＞0 より m<-2,m>2
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①の2解をα、βとすると (α>β) ⇒ 点A,Bのx座標をα、βと置いたことと同義
解と係数の関係より
α+β=m
αβ=1
点A,Bは y=mx上にあるので 点A(α,mα),点B(β,mβ)
点PはABの中点なので ( (α+β)/2 , m(α+β)/2 ) = (m/2 , m²/2)
x=m/2
y=m²/2 として mを消去
m=2x
m²=2y
(2x)²=4x²=2y
y=2x²
但し m=2x の mは m<-2,m>2 の範囲なので
2x<-2 x<-1
2x>2 x>1
∴ 中点Pの軌跡は y=2x² ( x<-1,x>1 )
ありがとうございます！！