✨ ベストアンサー ✨
まず質問についてですが, その場合は存在しません.
a≦1かつ2≦2a⇔1≦aなので条件が同時に成り立てません.
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ではどう場合分けを考えるかですが, "少なくとも一方の端点"が領域に含まれる場合について考察します.
まず区間[a, 2a]に1があると仮定します. このときa≦1≦2a≦2[a≦1の両辺を2倍](⇔1/2≦a≦1)がいえます.
また区間[a, 2a]に2があると仮定すると, 1≦a≦2≦[2≦2aの両辺を2で割る](⇔1≦a≦2)がいえます.
これですべての場合が尽くせている[必ずチェックします]ので, あとはaに関する不等式を解くと1/2≦a≦2になるわけです.
とても丁寧にありがとうございます。
自分の場合分けがダメな理由がわかりました！
この問題とは違いますが、もう一つ質問しても良いでしょうか？
特に条件がない時、不等号に＝をつけるかどうかでかなり迷います。何かコツよのうなものはありますか？
かなり抽象的ですみません…
残念ながら特効薬的なものはありません.
しかし場合分けというのは何かしらの"動機"があってやります.
いくつか代表例をあげます.
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①境界をもつ, もたない差 [数直線だと開区間と閉区間]
xy平面上の点(2, 3)は以下の領域に含まれるか?
(i) x^2+y^2≧13 (ii)x^2+y^2<13 [境界上(=)の点なので(i)に含まれる]
この問題でもすべて等号を外すと場合分けが変わっていきます.
これは境界の有無が大きくかかわっています.
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②ある区間を区分けする. たとえば実数全体.
f(x)=|x-1|+|x+1|はどのようなグラフか?
まずx=±1で状況が変わる[これは次のテーマ]のは想像できます.
x<-1だと|x-1|=-(x-1), |x+1|=-(x+1)なのでf(x)=-2x
-1≦x<1だと|x-1|=-(x-1), |x+1|=(x+1)なのでf(x)=2
1≦xだと|x-1|=(x-1), |x+1|=(x-1)なのでf(x)=2x
この場合分けは境界点では状況に重なりがあるので
x≦-1, -1<x≦1, 1<x, もしくはx≦-1, -1<x<1, 1≦x, あるいはx<-1, -1≦x≦1, x<1
のように場合分けしてもよいです. ただし論理的に系統的である必要はあります.
3つの場合分け全体で実数全体を表している[関数の定義域は実数全体], という意識を持っている人は意外と少ないようです.
[→続く]
[→続き]
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③置かれている状況が違う. 論理が違う[これは組み合わせや確率の問題].
a, bを実数とする. 関数f(x)=ax^2-2ax+bがx≧0で常にf(x)>0なるための条件は?
まずa>0, a<0は2次関数, a=0は定数関数なので状況が違います.
また同じ2次関数でもa>0とa<0では凸性が異なります.
a<0のとき, 十分に大きいxでf(x)<0なので不適
a=0のとき, f(x)=bで条件を満たすためにはb>0
a>0のとき, f(x)=a(x-1)^2-a+bと平方完成できる. x≧0ではx=1で最小値をとる.
これが0より大きければいいので-a+b>0⇔b>a
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東北大志望ですよね. 毎年, 出願者向けにメッセージを発表しているようです.
大学入試に対する考え方, 各科目での勉強方法や期待も書いてあるのでよく読んでみましょう.
今年は http://www.tnc.tohoku.ac.jp/ito.php
前期理系2, 後期文系1で場合分けについてコメントがあるので参考にしてみましょう.
大変参考になりました！
ありがとうございますでは足りない程です、がありがとうございました！
私は②の時に迷うことが多いと思います。
自分が納得できるまで代入して、差し支えないなーと思えるような演習を重ねて、慣れていきたいと思います。
また、目的をもって出題意図を見ると得られるものが違うなと思いました。
ありがとうございました！
[訂正]
a<1かつ2<2a⇔1<aなので