最大値は2分の5で最小値が−4になるのですが、どうして最小値が−4になるのかが分かりません。
✨ ベストアンサー ✨
倍角公式からcos2x=1-2sin^2x.
したがって関数はy=-2sin^2x-2sinx+2=-2(sinx+1/2)^2+5/2, -1≦sinx≦1である
[sinxの2次関数と見る. 0≦x<2πに対応するのは-1≦sinx≦1ですね].
これはsinxに関しては上に凸な放物線である.
頂点位置であるsinx=-1/2⇔x=7π/6, 11π/6を含むから最大値は5/2.
最小値は端点の比較で, sinx=1[軸から離れている方が最小. 軸対称性と単調性のおかげです]
⇔x=π/2のとき, 最小値はcosπ-2sin(π/2)+1=-2
***
最小値は-2です[計算機でも確認しました]. 答えが間違っているのでしょう[y=cos2x-2sinx-1と計算した?].
加法定理より
cos2x = cos(x+x) = cos²x - sin²x = (1 - sin²x) - sin²x = 1 - 2sin²x
y = cos2x - 2sinx + 1
= 1 - 2sin²x - 2sinx + 1
= -2sin²x - 2sinx + 2
ここで sinx = X と置いて、平方完成すると ( -1 ≦ X ≦ 1 )
y = -2X² - 2X + 2 = -2(X + 1/2)² + 5/2
-1 ≦ X ≦ 1 において
最大値 X = -1/2 のとき y = 5/2
最小値 X = 1 のとき y = -2
X = sinx を戻して xの値を求めれば終わり。
やはり最小値−2になりますよね！
ありがとうございました。
cos 2x=1-2 (sin x)^2 ですね。
y=1-2(sin x)^2 - 2 sin x +1
y=-2(sin x)^2 -2 sin x +2
ここで、A＝sin x (-1<=A<=1) とおくと、
y= -2 A^2-2A+2 = -2(A+1/2)^2+5/2
これは上に凸な放物線で、Aの範囲tは−1<=A<=1 なので、A=+1 の時、最小となる。
Y=-2(3/2)^2+5/2=-9/2+5/2=-4/2=-2 あれ？
x=π/2 ??
合わないですねぇ
答えは先生の手書きなので、きっと答え自体が間違えているのだと思います…笑
ありがとうございました。
かもね？（笑）
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先生の手書きの答えなので答え自体が間違えているのだと思います。
ご丁寧にありがとうございました！！