Question

セス

線を引いてあるところなのですがいきなりlog|t^2-1|としてはなぜいけないのでしょうか？

②     ュ       SIh _ SIn和を

 

 

    
    
    

ここで, 7ーcos々 とおくと,

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0ューにーー生み

oglz-1|-logl+1D+C

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

緑茶

実際にlog|t^2-1|を微分すると分かるのですが、分子に2tが出てきてしまい元の積分と異なってしまうからなんです。
え、じゃあ1/2tをかければ良くね？と思うかもしれませんが、それも単純には積分出来ません。部分積分とか必要になります。部分分数分解は積分にも役に立つのでぜひこれを機に覚えておくといいと思います！

セス

すみません。ではどういう場合に部分積分が必要なのでしょうか？毎回微分をして確かめなければならないのでしょうか？

緑茶

慣れてないうちはいちいち微分をして確かめるのもアリだと思います。(なるべく暗算で)。次第になんとなく見分けるポイントが分かってくると思います。例えば今回ですと、tが2乗になっている時点で、いきなりlogには出来そうにないな、という感じで見通しが立ちます。
部分積分は、(文字式)×(文字式)、三角関数、指数関数がかけられている時、あるいは何回か微分や積分を繰り返すと定数になる時に使います。(これも慣れてくるといちいち微分しなくてもある程度分かるようになります。)
一方、部分分数分解は(多項式)/(多項式)のような形になっている時に使えます。今回もその例ですね。ちなみに多項式にsinなどの三角関数、e^xなどの指数関数は含まれません。これらが含まれている場合は、部分分数分解以外のやり方を探す必要があります。(もちろん部分分数分解で解ける場合もあるかもしれません。)

セス

詳しくありがとうございます！