Pの範囲を求める時に2枚目の写真のように1文字消去してやると間違うのですが、何故なのでしょうか。

132変数関数/対称式の場合 xとyはx'+xy+y=1 を満たす実数とする. また, w=xy-x-y とする. (1) p=x+yとするとき, wをで表せ. (2)実数とりが2+xy+y2=1 を満たして動くとき,wの値のとりうる範囲を求めよ. I (大阪教育大後) の最 対称式は必ず基本対称式を用いて表せる. xとy 条件式と値域を調べる式がともに対称式の場合 の対称式の場合, x+y=u, ry=vとおけば, uと”の式に直せる. まず,条件式と値域を調べる式を u, vの式に直す.u, vの式に直すことで,x,yを消去するわけで ある.すると,消去される文字, yの条件をすべてu, に反映させなければならない. ここで, 「x, yが実数」という条件を反映させるのに, 「u, vが実数」 だけでよいのだろうか? もちろん 「x,y が実数」 ⇒ 「u, vは実数」は成り立つ。逆に, 「u, vが実数」 ⇒ 「x, y が実数」は成り立つ のだろうか? ここが問題である. 例えば,u=2,v=2となり得るのだろうか? これを調べるには, x, y を求めてみればよい. 解と係 数の関係により, u=2, v=2を満たすx,yは, 2-2t+2=0の2解である.この方程式の判別式Dに ついて, D/4=1-2<0 であるから, x, yは実数ではない. つまり 「u, vが実数」 であっても, 「x, y は 実数」とは限らないのである. x,yはf2-ut+v=0の2解であるから, x, y が実数という条件を, 判別式≧0 により, u²-4v≥0 A であ とに反映させる必要がある. この実数条件は, 忘れがちなので,とくに注意しよう. 角 (1) y と 解答 (1)x2+xy+y2=1により, (x+y)²=xy=1 ::p2-xy=1 :.xy=p2-1 まずxyをp(=x+y) で表す. 2 大 w=xy-(x+y) をpで表すと, wp-p-1 (2)まず,かの取り得る値の範囲を求める. x+y=p,xy=p2-1により, x,y tの2次方程式 t2-pt+p2-1=0 の2解である. x, y が実数である条件は, 判別式D について, D≧0 ←解と係数の関係. 本間の場合,前 文で述べたx, yの満たす方程式 t2-ut+v=0 で定 t= 2 2 よって,D=p2-4(p2-1)=4-3p20 ≤p≤ √3 √3 ……② は、2-pt+2-1=0である. 5 ①により,w=p WA 2 1 よって② において,wは= 1/2で最小,p= 2 2 √3 で最大となるから, wの値の取り得る範囲は 5 1 2√3 |2|53 2 √3 0 2|33| 12 01 ≤w≤ + 4 3 3 13 演習題 (解答は p.60) ←最大値は ① に代入して計算. MARK ST (ア),yx+y=4および≧0,y≧0を満たすとき,x-y'+x'+y'+xyの最小値 は (イ)とy 最大値は となる. (東京工科大・コンピュータ) 大値と最小値を求めよ.また,最大値と最小値を与えるx,yの値をそれぞれ求めよ. (ア) xy=t とおく . t を満たす実数とする.このとき, x2+y2+2(x+y) の最 ry+y2=9 の変域は,yを消去して tをxの関数と見ればよ (神戸学院大・リハビリ、薬) い。 46

マーカーの部分で、なぜf(x)=mx+nが重解s,tを持つならばf(x)-(mx+n)=(x-s)²(x-t)²と表せるのかが分かりません💦 どなたか教えていただけないでしょうか🙇‍♂️🙇‍♂️

BE 340 演習 例題 222 4次関数のグラフと2点で接する直線 0000 関数y=x(x-4) のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。 [類 埼玉大] 演習 曲線 C けると 指針▷ 次の1~3 の考え方がある [ただしf(x)=x(x-4), s≠t]。 3 の考え方で解いておし 解答 ① 点 (t, f(t)) における接線が, y=f(x) のグラフと点(s, f(s) で接する。 ②点(s, f(s)), (t, f(t)) におけるそれぞれの接線が一致する。 ③y=f(x)のグラフと直線 y=xnがxmlの点で接するとして f(x)=mx+n が 重解 s, tをもつ。 → f(x)-(mx+n)=(x-s)(x-1) US y=x(x-4)のグラフと直線y=mx+nがx=s, x=t (s≠t) の点で接するとすると, 次のxの恒等式が成り立つ。 x(x-4)-(mx+n)=(x-s)(x-t) (左辺)=x-4x-mx-n 大 (右辺)={(x-s)(x-t)}={x2-(s+t)x+st}2 =x*+(s+t)'x2+s2t2-2(s+t)x3-2(s+t)stx+2stx2 =x-2(s+t)x+{(s+t)'+2st}x2-2(s+t)stx+s2t2 両辺の係数を比較して YA 指針 3 CHA 解 y=32 おける すな この f(t) -4=-2(s+t) ①から ...... ①,0= (s+t)2+2st m=-2(s+t)st 3,-n=s²t² 下の別解 は,指針の① ...... ④ え方によるものである。 s+t=2 これと②から st=-2 f(t ③から m=-8 ④から n=-4 (8x) (S+x) f(t) s, tはu2-2u-2=0の解で,これを解くと u=1±√√3 s≠tを確認する。 よって,y=x(x-4) のグラフとx=1-√3, x=1+/3の点 で接する直線があり、 その方程式は y=-8x-48-³ (s+y)=x=" 別解y=4x-12x2 であるから,点(t, t(t-4)) における接線の方程式は y-t(t-4)=(4t3-122)(x-t) すなわち y=(4t3-12t2)x-3t+8t3 この直線がx=s(s≠t) の点でy=x(x-4) のグラフと接するための条件は, 方程式 x-4x=(4t-12t2)x-3t+8t3 tと異なる重解s をもつことである。 (x-t)^{x2+2(t-2)x+3f8t}=--= これを変形して よって, x2+2(t-2)x+3t2-8t=0 Aが, tと異なる重解sをもてばよい。 Aの判別式をDとすると D=(t-2)-1-(3f-8t)=-2-21-2) D=0 とすると 2-2t-2=0 これを解くとt=1±√3 3 t (* t=1±√3 はピー2t-2=0を満たし -3+4+8t³=-(t2-2t-2) (3t2-2t+2)-4=-4 このとき,Aの重解はs=-(t-2)=1+√3 (複号同順) よって、stである。 At-12t2=4(t2-2t-2) (t-1)-8=-8/ x ゆえに,(*) から y=-&- 練習 ④ 4 222 曲線 C: y=x4-2x-3x2 と異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。

連投失礼します。画像1・2枚目と画像3枚目についての質問です。 ①画像1・2枚目について （4）の分散の計算過程を教えてください。 ②画像3枚目について （2）の指針の四角部分がなぜこうなるのか教えてください。

284 基本 例題 180 変量を変換したときの平均値・分散 00000 変量xのデータの平均値xがx= 21, 分散 sx2 が sx2 =12であるとする。 このと 次の式によって得られる新しい変量yのデータについて, 平均値y, 分散 s}, 標準偏差 sy を求めよ。 ただし,3=1.73 とし,標準偏差は小数第2位を四捨五入して, 小数第1位ま で求めよ。 x-21 は正 (1) y=x-5 (2) y=3x (3) y=-2x+3 (4) y= 2√300 このp.283 基本事項 重要 185

青線で囲った部分が分からないです。 なぜこの式が線分AQの長さを表すのですか？ 回答よろしくお願いします！

214 第4章 微分法の応用 18 曲線 C:y=e* 上の異なる2点A(a, e), P(t, e') におけるCのそれぞれの法線の交点 ものとして、親分AQの長さをL() で表す.さらに,r(a) = lim Lat)と定義等の (1) r(a)を求めよ. (2) aが実数全体を動くとき, r(a) の最小値を求めよ。」 <考え方> (1) Qのx座標を求め, (Qのx座標) - α と直線AQ の傾きから, La (t) を求める (2) 文字のおき換えを考え、定義域に注意しながら計算する. (1) y=e" より,y'=e 曲線 y=e' 上の点A(a, e), P(t, e') における法線 の方程式はそれぞれ, +x)-( y-e²=-(x-a) - (+2) y-e'=-(x−t) ......2+) y=f(x) 上の点(α f(a)) における法線の方程式 y-f(a)=-ƒ (a)(x0) (十五十 (f(a)\0 のとき) ①②よりyを消去して,交点Qのx座標を求めると e'-e=(x-1)-(x-a) ee' (e'-e")=eª(x− t)- e'(x-a) (e-e)x=ae'-te- e'e' (e'-e") ae'-te x= e'-eª したがって, eª e 40-2 mil mil(a)ail 1+ kt at より,ピーピ≠ 0 L(t)=√1+(-1)(a-te-ee-a 0 y=mx+n = 1+ 1-e(t-a) 20 e-ea eet e2a ea. iteel e2a+1 t-a e-e ここで,f(t)=e' とおくと, f'(t)=e' t-at-a lim e'-e² = f'(a)=eª よって, Ile² + e²e mil r(a)=limL.(t)=√++ee 2a 220+1 − 1 + 2² | = (1 + e²) = 1, 3 C ea ea (2)u=eze,g(u)={r(a)}^ とおくと,u>0で g(u)=- (1+e)_(1+u) 3 u g'(u)=3(1+u)²u=(1+u)³ _ (1+u)²(2u−1) u +10 √1+m² m llim ( t-a 1 1-a e-e 1+e>0 r(a)>0より,g(u)が最小 となるとき(a) も最小と 0 なる. 大 u² g^(u)=0 とすると,“>0より, u= 12 g(u) の増減表は右のよう になる. u=1のとき,g(u)は U 0 ... : g'(u) 27 4 最小値をとり、このと g(u) 1 + 27 12024 7 12a=log_ a=- -=- =-1210g2 -log2 より

最後の方で、絶対値a＋bが0以上になってると思うんですけど、0も含まれる根拠を教えて欲しいです。

ベクトルの内積 (213) C1-27 例題 C1.14 内積とベクトルの大きさ(3) **** ベクトルà, 方 が la-6=1, |2a+36|=1 を満たすときの最 大値、最小値を求めよ. 考え方 ab=u2a+36=0 とおくと=10=1+1=1/2(+20) となる。 最大値を求めるのに 絶対値が式のとき ....... 2a+3b=v .......② とおくと ||=1, |v|=1 解答 ①②より、auで表すと文字ありが2つ a+b=u+2v a=3u+v 5 b-v-2u 5 よって, これを表すために 5 を使う ữ ta là | u+2v 5 25 (|u|²+4u v +4|v|²) 1 25 25 www ここで,||||||||より 16+20-12/3 (14+40+416円) (12+4uv+4×12)=- (5+4u-v) 080 ③ ①×3+② より 5a-3u+v ② ① ×2 より 56=v-2u したがって、 ③より1=105 25 01+20より 12/16/20 よって, a +6の最大値 最小値 1 3-5 -1≤u v≤1 |||=1, ||=1 a-b= |a|b|cos -1 cos 0≤1 th, -ab≤ab≤ab ( 内積の性質) 72-2ab+b² = 1 42+ 122 6+96² = 1 うになる。 +2 +22 とは同じ向きで, このとき,|a-6|=|-561=1より16=1/03 la +6=1/2/3 となるのは,=1のときであり、このときとは逆向きで, ||=||=1であるから, u=-v すなわち、 ① ② より ab=-(2a+36) であるから このとき より16=23 今回のように条件を満たす a, が存在することの確認を解答からは省略しているが, 求めた解が題意を満たすかどうかなどは,つねに確認する意識はもっておくとよい 第3章 練習 平面上のベクトルαが24+6=1-36=1 を満たすときの最 B1 B2 = p.C1-32 [12) C1 C1.14 大値、最小値を求めよ. C2 *** 1

棒線部が何をしているのかわからないです。ご教授願います。

問題 次の表は、あるクラスの生徒30人について, 1週間の自宅での学習時間について調べ x-10 結果の度数分布表である。 学習時間の階級値x に対して, u= とおく。 4 (7)170 (ア) 170cm以上 学習時間(時間) 階級値 度数 u 以上~未満 (イ) 150cm 以上 0~4 4~8 (ウ) 150cm ちょうどの生徒 8~12 (エ) 19cm台の生徒の 20 12~16 16~20 24 18 ~ 計 15165330 26101412 -2 -2 1 -5 (1) 2 3 .d (S) Su 2 2 (1) uのデータの平均値uと分散 su を求めよ。 ただし, su は小数第3位を四捨五入し て答えよ。 (2)一般に,xのデータの平均値x と分散 sx2 について,次の式が成り立つ。 x=10+4u,sx2=16su2 =x(1) この式を使って, x と sx” の値を求めよ。 ただし, sx2 は小数第3位を四捨五入して答 uの度数分布表をつくって,分散の公式suzu-(u)を用いる。 解き方のポイントー (1) uの度数分布表は,次の u -2 -1 0 1 2 表のようになる。 STEP 1 度数 1 5 10 6 5 A u = 33 017-8 aas (ar) 計 30 STEP 1 uの度数分布表をつくる。 30((-2)1+(-1)・5+0.10+1・6+2・5+3・3} 18 30 = 3-5 = = 0.6 (時間) ( Su 30 662 (4・1+1・5+ 0 ・ 10 + 1 ・ 6 +45 +93) 30 ≒ 1.71 35 2 = ( 25 955 31 15 35 2 STEP 2 *(T-SO) STEP 2 分散の計算公式を用いて分散 を求める。 Su² = u² - (u)2 155 75 21 27 128 $1.706... 75 75 ■分散の計算公式

解説の部分でx=1で極大値となるってあるんですが グラフが対象とわかった場合そのようになるのですか？ 基礎の部分だと思うんですけどいまいち理解できてないのでどなたか教えてください。

(01 <) 0<1- <-45 もつ 演習問題 69 f(x)=ar'+bx+c+dx+e が次の性質(i)〜 (i)をもつとき, a, b, c, d, e の値を求めよ。 (i) f(x)=ƒ(2-2)03 () f(x)は極大値4をもつ。 () f(x)はx=3 において, 極小値 -4 をとる.

数学です。 この解き方でも合っているか教えてほしいです。

tan2x (3) lim (東京薬大生命) x-01-cos x

どうして0<t<π/2となるんですか？ これはαの範囲ではないんですか？ あと、u=tantと置換した時に積分区間が0→tanαから0→αに変わるのは何故なのでしょうか。どなたか教えていただけないでしょうか。

5.0 以上の実数に対して, f(x) = 1/1/21 1 du 1+u2 -C と定める。 以下の問に答えよ。 (配点30点) (1)≦aを満たす実数aに対して, f (tana) を求めよ。 1

第5問の(1)がわかりません、、 教えてください🙇‍♀️

ck, w+y=uk と表されるね。 - ら、整数kを用いて、 2x=du+vk, 2y=uk-dv となるよ。 4N=d2+k2)(u2+2)が成り立つね。 ■ 平方数の和を次の3つのタイプに分類してみることに (奇数)+(奇数)2, つまり、奇数の2乗どうしの和 (偶数)+(偶数)2, つまり、偶数の2乗どうしの和 (偶数)2 + (奇数) 2, つまり, 偶数の2乗と奇数の2乗の 一方数を4で割ると、余りはシ 方数を4で割ると、余りはス 方数を4で割ると, 余りはセ セである。 第5問 (選択問題) (配点 20) 共通テスト 実戦創作問題 数学Ⅰ・数学A 23 太郎さんと花子さんはチェバの定理を最近学習した。以下は、職員室での太郎 さん,花子さん, 先生の3人の会話である。会話を読んで、下の問いに答えよ。 太郎: チェバの定理とは、三角形ABC とその内部の点Pについて 直線 BCと直線AP との交点を A',直線CA と直線 BP との交点をB', 直線AB と直線 CP との交点をCとするとき AC BA' CB' × × =1 C'B A'C B'A が成り立つというものでした。 花子:そうですね。 ACA C'B ア BA' A'C CB' イ ウ B'A が成り立つので,これらをかけあわせれば証明できます。 太郎:面積を考えるというのがポイントでしたね。 x2+y^ と z2+ w²は同じタイプであるはずであり,yとr が等しいとしても一般性は失われないね。 これ以降は,yとwの偶奇が等しいとして議論しよう。 とこの偶奇も等しくなりはソkはタ ニから,Nが素数でないことがいえるね。 さらに、Nの つける方法も与えてくれているよ。 タについては、最も適当なものを次の①のうち ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。 ア (1) ウ については、最も適当なものを、次の①~③のうちから 一つずつ選べ。 (5) △PAB APBC △PBC' △PA'B ① APBC APAB APBC △PAC APAC APAC (3 APBC APA'C APB'C △PA'C APAC APAB (6) ⑦ (8 APA'C APB'C APAB APAC 先生: 授業のときには紹介しなかったが、このチェバの定理には、様々な拡 張や変種が考えられているんだよ。今日は、そのうちの二つを紹介し よう。 花子: それは興味深いです。 先生: まずはじめは,三角形でなくても、五角形や七角形などの角の個数が