ような条件を調べる(「改訂版チャート式基礎からの数学I」の p.197 重要例題 127参
f(t)=t°-2xt+y-1 とし,放物線 z=f(t) が 0<t£1の範囲でt軸と共有点をもっ
条件を求める。
照)。
最大·最小の問題として進められる分,考えやすいかもしれない。
解答
①をtについて整理すると
2-2xt+y-1=0
tの2次方程式と考える。
の直線① が点(x, y) を通るための条件は,tの2次方程式 2が
0Sts1の範囲に少なくとも1つの実数解をもつことである。
すなわち,次の[1]~ [3] のいずれかの場合である。
2の判別式をDとし,f(t)=t°-2xt+y-1 とする。
[1] 0<t<1の範囲にすべての解*)をもつ場合
下に凸の放物線。
軸は直線t=x
(*)異なる2つの解または
D20, f(0)>0, f(1)>0, 0<軸<1~家さ
(-x)°-1-(y-1)20
ySx+1
条件は
重解。
D20から
よって
る
ゆえに
>1
y>2x
f(0)>0 から
ソー1>0
行 さ
D=0/
f(1)>0から 1-2x+y-1>0
O3Dv
よって
VD>
O ノ/0
軸は直線t=xであるから
0<x<1
0
11
T
ySx°+1, y>1, y>2x, 0<x<1
[2] 0<t<1の範囲に解を1つ, t<0または1<tの範囲にも
f(0)f(1)<0から
まとめると
う1つの解をもつ場合
(yー1)(y-2x)<0
「ッ>1
l<2x
た
0
「y<1
ッ>2x
ゆえに
または
[3] t=0 またはt=1を解にもつ場合
f(0)/(1)=0 から
(y-1)(y-2x)=0
ソ=1 または y=2x
[1]~[3] から, 求める領域は,右の図
の斜線部分。ただし, 境界線を含む。
注意 x+1=2xとする。
(x-1)=0から x=
よって,放物線リ=
*| 直線 y=2xは点(.
よって
11
2
する。
または
0
