この問題がどうしても解けませんでした💦 丁寧に解説していただけるとありがたいです。

[ⅢI 慶応義塾大] 複素数z は等式 |_}| 2- -2 =2を満たす。 複素数平面上で,zを表す点をP(x+yi) とする。 2- -1 点Pから,それぞれ点 A (2), B (1) に引いた線分 PA と PB の長さの比を求めよ。 また, 点Pはどのような図形上にあるか。 図形の方程式を求め,図示せよ。

解答の、下線部を引いたところがなぜそうなるのか分かりません。(よって〜、の所です) なぜ割り切れると言えるのですか？

= (2次式)(1次式)と因数分解できる。、 の解となるような実数の 複素数3-iが3次方程式 xー4r°+ ax +6 =0 定数a, bの値を求めよ。また, 残りの解を求めよ。 高次方程式の虚数解 例題 50 [本解) 3-iと3+iを解にもつ2次方程式 (2次式)= 0 に対して 条件の言い換え 共役な複素数 (x=3+iも解 (別解2] 残り1つの解をaとすると, 解と係数の関係より (解の1つが) (x=3-i l(3-i)(3+i)α= [別解1) 方程式にx=3-i を代入 APoint 参照 開係数がすべて実数であるから,3ーiと共役な複素数3+i 例題 31 も解である。 ここで,3-iと3+iを解にもつ2次方程式の1つは 例題 2数を解にもつ2次方程 式の1つは x°-(和)x+(積) 30 x=3-i を解にもつ2次 方程式は x-3=-iの 両辺を2乗して x°-6x+9= -1 x°-6x+10 =0 としてもよい。 すなわち x°-6x+10 =0 よって, パー4x°+ ax +bはパ-6x+10で割り切れる。'、 右の計算より x +2 x-6x+10) x°3-4x°+ x°-6x?+ 商は x+2 ax + b 余りは 10x (a+2)x+(b-20) この余りは0となるから a+2= 0, b-20 = 0 これを解くと 2x°+(a-10)x+ b 2x°- 12x+20 (a+2)x+(b-20) 「割り切れる」 (余り)= 0 a= -2, b= 20 このとき,方程式は (x+2)(x°-6x+10) = 0 これを解くと したがって,求める残りの解は (別解 1) Faine 3土i x=-2, 3+i 3-iが解であるから, x=3-i を方程式に代入して (3--4(3-+a(3-i)+6=0 27-27i+9°--36+24i-42 +3a-ai+b=0 (3a+6-14)+(-a-2)i= 0 例題 22 パ=-1, ポ=-i 考のプロセス

-1+2i と共役な複素数の和と積までは、求められたのですが、そこから赤線部分のaとbの求め方が分からないので、解説お願いします🙇🏻‍♀️

|3|3次方程式x+ax°+bx-15=0 …… 0の1つの解が -1+2i であるとき,実数の定 数 a, bの値と他の解を求めたい。 (1) 次のコ O 整数 0 有理数 の 無理数 O 実数 0 虚 数 6 実部 6 虚 部 の 共役な複素数 8 逆数の複素数 方針1- x=-1+2i が方程式Oの解であるから, ① に代入して 1-22 (-1+2i)+a(-+ 2i)*+{-1+2i)-15=0 (杯 (-1+2i)°=| アイノー| ウであるから,式を整理すると エオローbー/カ + 2 キク a+b- ケ ニ =0 このとき,|エオ aーb-| カキク ロ+bー[ケは「コであるから エオ aーb- カ3D0, キク la+b- ケ=0 1(3) これを解いて a, bの値が求められる。また,このとき, 方程式①は (xーサ+[シ+|ス)=0 と因数分解できるから,他の解も求めることができる。 ath )30 ー3ap 方針 2- 実数を係数とする方程式のの1つの解が -1+2i であるから, これと セ も解である。これら2つの解の和はソタ 積は チであることから,これ ら2つの数を解にもつ2次方程式の1つはx+ ツ x+ テ=0 である。 したがって,x°+ax'+bx-15=(x?+ ツx+ テ エ+c)とおけることか ら,a, bの値と他の解を求めることができる。 0 (2) 方針1または方針2を用いると ヒ トナ, b=|ニヌ,他の解は ネ」とノハ がわかる。 2 キク, -2 ケ 1

波線部のf(-2)になる理由がわかりません。 教えてください

D.94 基本事項2, 基本62 OOO00 100 基本例題 63 解から係数決定(虚数解) (山梨学院大 の定数 a, bの値と他の解を求めよ。 HART O OLUTION =e が f(x)=0 の解 → f(α)=0 代入する解は1個 (x=2+i)で, 求める値は2個(aと6)であるが, 複素数の相等 A, Bが実数のとき A+Bi=0 ← A=0 かつ B=ニ により,a, bに関する方程式は2つできるから, a, bの値を求めることができる また,実数を係数とする n次方程式が虚数解 α をもつとき, 共役な複素数。 解であることを用いて, 次のように解いてもよい。 別解1,2 αと が解であるから, 方程式の左辺は(x-α)(x-α) すなわち るこの方oe x-(α+@)x+aa で割り切れることを利用する。 3つ目の解をえとして, 3次方程式の解と係数の関係を利用する。 別解3 解答 して inf. x-2=i と変形して 両辺を2乗すると x-4x+5=0 これを利用して x=2+i がこの方程式の解であるから (2+)+a(2+i)?+6(2+i)+10=0 18 ここで,(2+)°=2°+3·2°i+3·2i+パ=2+11i, 81=6 すると (2+)=2°+2·2i+パ=3+4i であるからSーナx+ax?+ bx+10の次数を 2+11i+a(3+4i)+6(2+i)+10=0信ケ (8-x)( 下げる方法(別解1の3行 +x ) 1 目以降と同じ)もある。 3 8.(b.89 基本例題 56 参囲) 3a+26+12, 4a+b+11 は実数であるから とすると、 他ー この断り書きは重要。 3a+26+12=0, 4a+b+11=0oy 0ま A, Bが実数のとき iについて整理すると はして=ー。 3a+26+12+(4a+b+11)i==0 する方 この はなと、 は) これを解いて ゆえに,方程式は f(x)=x°-2x°-3x+10 とすると a=-2, b=-3 11)- x°-2x°-3x+10=0 A+Bi=0 → A=0 かつ B=0 F-2)=(-2)°-2·(-2)-3-(-2)+10=0 - -6-k1S よって,f(x) は x+2 を因数にもつから f(x)=(x+2)(x°ー4x+5) + 組立除法 81%3D6 したがって, 方程式は 1 -2 -3 10 2 (x+2)(x°-4x+5)=0 x+2=0 または x-4x+5=0 -2 8 -10 ゆえに 0 1 -4 5 x2-4x+5=0 を解くと よって, 他の解は 別解1 実数を係数とする3次方程式が虚数解 2+i をもつか ら,共役な複素数 2-i もこの方程式の解である。 よって, x+ax°+ bx+10 は {x-(2+i)}{x-(2-i)} すなわち x-4x+5 で割り切れる。 x=2±i x=-2, 2-i の部分の断り書きは 重要。 の

数2です。 (3)が分かりません。 教えてください! よろしくお願いします。 (1)‪α‬+β=k+2 ‪α‬β=3k-2 (2)²/₃<k<2 こちらはあってるでしょうか。

kを実数の定数とする. xの2次方程式 x°-(k+2)x+3k-2=0 があり,2つの解を α, Bとする. (1) α+ B, aBをえを用いて表せ。 (2) α, βがともに実数であるようなんのとり得る値の範囲を求めよ. (3) 3c, 38を2つの解とするxの2次方程式を x°+ Ax+B=0 (A, Bはkの多項 式)の形で表せ。 (4) 複素数 z =カ+qi (b, qは実数, iは虚数単位)に対して, z と共役な複素数 カーgi をzと表す.α+28,2c+Bを2つの解とするxの2次方程式をx*+A'x+B'=0 (A', B' はkの多項式)の形で表せ.

マーカーを引いているところの意味がわかりません。教えてください！！

33 X=x+ y, Y=xyとおく。 x?+°<1から (x+)?-2xy<1 すなわち X2-2Y<1<0 x? 1 Y2 22 したがって ·0 また,x, yは2次方程式?-(x+ )t+xy=0 すなわち ?-Xt+Y=0の2つの実数解 であるから,判別式を Dとすると D20 D=(-X?-4-1.Y=X°-4Y x? ソ= 2 ここで 1 外3 ·2 X? 2 よって,X?-4Y20から Y<- O, 2 から X? 1 2 x2 ソ= 4 の, の から 1 0 2」 変数をx, yにおき換えて 2 x? -V2 1 V2 x 2 2 したがって,求める領域は,右の図の斜線部分。 ただし,境界線を含む。

(2)です。解説ではxに1＋√2iを代入して解いているのですが、共役な複素数の性質を使って1-√2iを使っても解けると習いました。 その方法でやると(x-1-√2i)(x-1+√2i)で方程式を割った数がax^2+bx+xになってしまいどうやって解くかわかりません。 教えて... 続きを読む

0 3次方程式 -5x°+az+b=0 の3つの解のうち, 1つが 2+3i である とき, 実数の定数a, bの値と他の解を求めよ。 *(2) 3次方程式 +ar'+bx+6=0 の3つの解のうち, 1つが 1+/2iであ るとき,実数の定数 a, bの値と他の解を求めよ。

数学III 複素数平面の範囲です。 下記の色がついた部分の、y＞0は、なぜ置くのですか？

複素数えが|z+2|=|z-4|, |z|=2 を満たし, zの虚部が正で 複素数の絶対値 Style 11 あるとき,2の値を求めよ。 (04 神奈川大) 解 |z+2|=|z-4| から 12+2°=2-4P (2+2)(z+2)=(z-4) (-4) key lalは leP とし て扱う。aP=ca Support 共役な複素数の性 答 よって 展開すると z+2z+2z+4=zz-4z-4z+16 6(2+2)=12 ここで,2=x+yi (x, yは実数, y>0) とおくと (x+yi) +(x-yi)=2 すなわち +z=2 質 ゆえに a+B=a+B, α-B=a-B 2x=2 したがって x=1 よって また,|z|=2 から l28=4 12+y°=4 y>0 であるから y=V3 よって y?=3 ス=x+yi のとき |2P=x°+y° すなわち なぜ したがって ミ=1+/3i 答 参考 +z=2, zz=4 であるから, zを2次方程式 -2t+4=0 の解として求めてもよい。 key 別解複素数平面 上の直線と円の交点とし て考える。 (別解 z=x+yi (x, yは実数, y>0) とおく。 複素数平面上で,|2+2|=|z-4| は2点 -2, 4を 結ぶ線分の垂直二等分線を表すから x=1 また,|z|=2 は原点0を中心とする半径2の円を 表すから 0, 2 とy>0 から x=1, y=V3 の 2 x°+y°=2? 2 2 4x よって 2=1+/3i 答

実部どころか全部0になってしまいました。どこで間違えたか教えてください。

80 範 2004年度 [5〕 Level B 2を絶対値が1の複素数とする。このとき以下の問間いに答えよ。 ()850 ふさケ来の負 50+181-日) Sの (1) -2の実部が0となるようなっをすべて求めよ。

この問題でβが0から1にある場合は考えないのでしょうか？(解答から) 写真①問題 ②参考教科書 ③問題の解答 わかる方いたら教えてください。よろしくお願いします🙇‍♂️

95 父く1 さ 回題 32 2次方程式 4x?-8mx+m=0が, 1より小さい異なる2つの解をもつとき, 定数 m の値 の範囲を求めよ。 -8 m22tm-0 の2つの解をaiB とする。 (ただし、α<B) Da<0 <B<1