紫で線を引いている2はなぜ2になるんですか？

第3節 絶対値を含む方程式 例題 13 次の方程式を解け。 |x|+2|x-2|=5 え方 xの値の範囲で場合分けをし,絶対値記号をはずして解く。 x<0, 0Sx<2, x22の3通りに場合分けをする。 [1] x<0のとき |x|=-x, |x-2|=-(x-2) であるから ーx-2(x-2)=5 これを解くと 1 x=- これはx<0 を満たす。 [2] 0Sx<2のとき |x|=x, |x-2|=ー(x-2) であるから x-2(x-2)=5 これを解くと x=-1 これは0Sx<2を満たさない。 [3] x22のとき |x|=x, |x-2|=x-2であるから x+2(x-2)=5 これを解くと x=3 これはx22 を満たす。 以上から,解は x=- 1 3 答 3°

全体的にどのようにして式が変形しているのかわかりません。 解説お願いします。

れを21以上の整数てする、次の関係式か成りまつことを示せ、 ()r=1,2,…,n-lのとき n Cr = a-1 Cr-it a-iCr (2) rol,2, ,nのとき YnCr = hn-iC r-L 解))(右込う- (れ-1)1.r (r-1)!(れ-r)!-r (-1)!:(れ-r) r!(れ-r-1)1. (れ-と] r!(れと)! (-1)!-{rt(nr)る どうやって変形? れ! h! (左込) - r- ri(a-r)! しr-1)!(n-r)! n! く右正)= ** (左迎)- (右2) 1. 4。

最後の波線部の変形がよくわかりません。 どなたかご教授願います

7実数解の個数/定数項以外に文字走! 関数f(z)=az°ー(a+3)z+a+3について, 次の問いに答えよ.ただし, a は0でない実数とする (1) f(z)の導関数をf^(z)とする. zの方程式f'(z)=0が実数解をもつようなaの範囲を求 め,またそのときの実数解をすべて求めよ。 (2) ェの方程式f(z)=0が3個の異なる実数解をもつようなaの範囲を求めよ. (宮城教大) 3次関数y=f(ェ)が, ェ=a, Bで極値を持つとき, f(a)f(B)の正負で解の個数がわかる ナ(a)f(B)が,正,0, 負のどれであるかによって,f(z)=0 0 の解の個数が分かる。 (i) f(a)f(B)<0 → f(a)とf(B)は異符号【f(α)f(B)<0なら, αキB] (i)f(a)f(8)=0 → f(a)=0 またはf(B)=D0 ()f(a)f(B)>0 → f(a)とf(B)は同符号 であることに注意すれば,(i)~(道)のグラフは, (F(z)のr°の係数が正とする) Ai a となる.実数解の個数は, グラフと 軸の共有点の個数なので, ①の実数解は, (i)のとき3個 (i)のとき2個 ()のとき1個 ■解答 (1) f'(z)=3ar'-(a+3)であり, a+0, f'(z)=0より, 左辺は, a>0のとき正なので、 0>a>-3のときは負, -3>a のときは正となる。 a+3 a+3 22= 3a 右辺が非負のとき, エ=±, (=±y)とおく。 3a a+3 -20. この左辺は, a=0,-3 の前後で符号変化し, aハ-3, 0<a 3a -3 0 (2) Oが成り立たなければならないから, 以下①の下で考える。 f(z)=0が3個の異なる実数解を持つ → f(y)f(-y)<0 ○f(y)f(-y)<0ならば, Yキーyなので, エ=y, -yで極 値を持つ、 2 1 f(z)をf'(z)で割ると,商一,余り -号(a+3)エ+a+3となるので 3 f(z)=f(z)-(a+3)エ+a+3. これにェ=yを代入して, (8-Pp.14 で紹介した「次数下げ」 2 2 f()==(7)-(a+3)y+a+3=( f(y)=0 同様にして,「(ーy)=(2ッ+1) (a+3) +1 a=-3のときf(y)f(-y)=0 で不適であり, (a+3)?>0に注意すると、 f(y)f(-y)<0 4 a+3 23a-12 1-がく0 →1- 12 9 9 3a 27a 23 0 12 23 07 演習題(解答は p.127) 山宙新と +る 2次方想 3-2a212m」

なぜa>1の時、a<-1の時正から負、負から正とわかるのですか

CHART 極値 導関数の符号の変化を調べよ 必要でがにa そこで、まず必要条件 [1] を求め,それが十分([2] を満たす)かと1かて 320 ナ例題 188 極値をもつ条件 t 0<×<号の範囲で極大値を見もつように。 a-cosx a+sinx 関数f(x)=- 例 (福島県医大。 値の範囲を定めよ。 関 指針 f(x)は微分可能であるから,次のことが成り立つ。 f(x) が極大値をもつ f1] f(x)=0 となるxの実数値がある。 [2] その前後でf(x) の符号が正から負に変わる。 計 解答 f(x) は微分可能であり Fasinla-号1. asinx-dcos.x+1 =(x),S (a+sinx)? (a+sinx) 0<xくでf(x)が極値をもつためには、 sin(x-番)--0 ー番くュー番く要であるから sas- よって、一言く a40かつ(くxく号で 1 0 が実数解をもつことが必要である。 <sin V2 44 1 1 2 のとき、0は0くx V2a V2 V2 つの実数解をもつ。 その解をcとすると f(c)=0 -1<く ゆえに ここで、2 から a<-1のとき,f(x) はx=cで正から負に変わるから、 x=cで確 a>1のとき,f'(x)はx=cで負から正に変わるから, x=cで極かと 満たさない。 したがって,求めるaの値の範囲は a<-1

2番で、aがゼロでない時a＞0かつ…って書いてあるのですが、なぜa＞0になるのですか、教えてください。

頻出 明数 f(x)= x°+ax + 4x-3 が極値をもつとき, 定数aの値の範囲 を求めよ。 明新 f(x) = ax+(a-2)x が単調に増加するとき, 定数aの値の範 囲を求めよ。 定義に戻る (極大 y=f(x) (1) 3次関数f(x) が極値をもつ (f(x) =D0 となるxが存在し, その前後でf"(x)の符号が変わる。 (2次方程式 f'(x) =D 0が 異なる2個の実数解をもつ, (2) 単調に増加する →すべてのxに対してf'(x) 20 B 極小 5 ソ=f(x) 章 B x Action》 3次関数の極値に関する条件は,f'(x) =0 の判別式の符号を考えよ f(3)=0 , 極値をも 要条件である。 園(1) f(x) = 3x。+ 2ax+4 は2次関数であるから, f(x) が極値をもつための条件は, 2次方程式 f'(x) =D 0 が異 なる2つの実数解をもつことである。 f(x) = 0 の判別式を Dとすると D>0 ) 8a+24=0 = -3 D ="-12 4 (a+2/3)(α-2/3)>0 d-12>0 より, 求める aの値の範囲は a<-2,/3, 2/3 <a 2) f(x) が単調に増加するための条件は, すべての実数x に対して f'(x) 20 となることである。 ここで x=-1 で よって :3 で極小値を を確かめなけれ こい。 Point参照 a<-23, 2/3 <a f'(x) = 3ax° + (α-2) 問題の条件を満た る。 77 a=0 のとき f(x) = -2 となるから,不適。 4) aキ0 のとき 最高次の係数3aが0に なるかどうかで場合分け する。 f(x) = 0 の判別式を Dとすると a>0 かつ D= -12a(a-2)ハ〇 ① 0より S(x) のグラフを考える 4 yニr a(a-2) 2 0 と a>0 であるから 7, 4)より, 求めるaの値の範囲は D<0 または D=0 a22 a22 x 216 (1) 関数 f(x) = x°+ax+ ax-2 が極値をもつとき, 定数aの値の範囲を 求めよ。 =1で極小離を 庁求めよ。 (2 関数 f(x) = ax -3x+(a-2)x が単調に増加するとき, 定数aの値の 範囲を求めよ。 | O」ニ 獣数SEE 思考のプロセスー

全く理解できません。 赤い線の部分はどこから出てきたのでしょうか？もし変形した式でしたら細かく変形した道のりも書いてくれるとありがたいです

(114) 6章 数列(数学B) 511 数列{an}において, an = 3n-7のとき, 次の間に答えよ。 = asn とするとき, 数列 {bn} が等差数列となることを示し,一般項b。 (1) bn = を求めよ。 (2) C = ap とするとき, 数列{cn} が等差数列とならないことを示せ。

「上下」の意味がよく分からないので教えてください。あと、答えが共有点3つになる範囲になっているのですが、なぜそれが極値を持つ範囲か分からないので教えてください。お願いします

4次関数の極値の個数 0★★ 229 |関数 f(x) =D x* +x-3x°ーkx+1 が極大値と極小値をもつような定数k の値の範囲を求めよ。 定義に戻る 4次関数f(x) が 極大値 o(x) =D0 となるxが存在し, (f(x) が正から負) (x)が負から正) その前後で をもつ。 (極小値) に変わる。 f(x) = 0 が3次方程式であるから,例題216 のように判別式は利用できない。 |(CAction 方程式g(x) = kの実数解は, y=g(x)のグラフと直線y=kの共有点を調べよ 例題226) 目(x) = 4x° + 3x°-6x-k 関数f(x) が極大値と極小値をもつための条件は, f) = 0 となり,かつその前後でf'(x) が負から正およ び正から負に変わる xが存在することである。 このとき,g(x) = 4x°+3x°-6x とおくと, 曲線 y=g(x)と直線 y=k の上下が2度入れかわるから, 曲線 y=g(x)と直線 y=k は異なる3つの共有点をもつ。 g'(x) = 12x°+6x-6 負から正に変わるxで極 小,正から負に変わるx で極大となる。 f(x) = g(x) -k の正負 を曲線 y= g(x) と直線 y=k の上下から考える。 = 6(2x-1)(x+1) ニ わ一 g(x) = 0 とおくと x=-1, 2 よって, g(x)の増減域表は次のようになる。 -0-8-- 1 x -1 VA 2 y=g(x) 5 0 |7 9(x)|| 5 y=k 7 4 1 2 ソ= g(x)のグラフは右の図のよ うになるから,求めるkの値の範 囲は 9(x)-kの符号 上の図より, x=a, Y の とき極小,x=8のとき 極大となる。 くんく5 FO ○N→ K 考のプロセス

(2)の増減表で、f'(x)の所に0がないのはなぜですか？

376 第 Check 206 区 関数 f(x)=2.x-15x°+24x+4 について, xの値の範囲が次のとき 例題 た の最大値·最小値を求めよ。 (1) 0SxS2 (3) 0<x<6 (2) 1SxS6 極値が必ずしも最大 最小になるとは限らない点に注意しよう。 YA 考え方》 区間の両端の値と極値を調べて,最大·最小となるものを探せばよい。 考え方) 解 f(x)=2x°-15x°+24x+4 より, S(x)=6x°-30x+24=6(x-1)(x-4) f(x)=0 とすると, (1) f(x)の増減表は次のようになる。 15 解 x=1, 4 4 01 1 2 x 0 0 f(x) YA 15 F12 極大 |8 f(x)|| 4 15 4. グラフは右の図のようになり, x=1 のとき, 最大値15 *=0 のとき,最小値4 (2)f(x)の増減表は次のようになる。 f(0)=4 f(1)=2-1°-15- +24-1+4%=15 f(2)=2(2-2-15 +12+1)=& f(4)=4(2-4-15 +6)+4=-12 f(6)=6(2-6-15 +4)+4=4 Ol 121 1| 4 6 x f(x) YA 40 0 極小 40 -12 f(x)| 15 15 6 3 グラフは右の図のようになり, x=6 のとき,最大値 40 (3) f(x) の増減表は次のようになる。 本来の極大値が着 点(x=1)の場合、 前後の前の関数の 値がないので,そ れは極大とはいえ ない。 =4 のとき,最小値 -12 0… f(x) x 1 4 6 40| 極大 15 極小 端点は含まないが 値を調べておく。 x=6 での値を含 まないので,最大 値はない。 (40) 15 4。 -12 グラフは右の図のようになり, 01 /F12 *=4 のとき、最小値 -12 6 最大値なし Ocus 最大·最小 → 極値と端点の値を調べよ 東習 O 1 K

解いている中のどこに間違いがあるのかが分かりません ｎでくくる前後が∞-∞などになっていて、まずｎでくくっていいのかなどから分かりません もちろん解答のように解けば良いのでしょうが、手書きの方のような解き方はできませんか

高3 スタンダードレベル数学Ⅱ 練習問題 第6講 数列の極限 6 極限 lim(/n+4n+5-n) を求めよ。

(1)教えてください 極値をもたないと言うのは、つまり、どういう事ですか 文字と式だけではよく分からず、かと言っても自分でグラフをイメージ出来ないので、グラフ等を用いて分かりやすく説明して頂けると助かります

しneck 極値をもたない条件 関数 f(x)=2x°+kx°+kx+1 について, 次の条件を満たすように、 値の範囲,またはんの値を定めよ。 (1) 極値をもたない 例 題 206 (千葉工業大) (2) x=1 で極小値をもつ 大おは 極値をもたない (単調増加(減少)する) → つねに f(x)20 またはつねに f'(x)<0 しょつまり, f'(a)=0 を満たす。x=aが存在するが、 aの前後のf(x)の符号は正(負)で変化しない。 または,f(a)=0 を満たす x=a が存在せず, つねにf(x)>0 (f'(x)<0) x 考え方 (1) 関数 y=f(x) が次のようになればよい, a y o y x y 合の y f'(x)=6x°+2kx+k ………D f(x)=2x°+kx+kx+1 より, D 4 解答 f(x)=0 の判別式をDとすると,ー=k-6k=k(k-6)2= (1) f(x)のx°の係数が正より, 極値をもたないのは, つねに f(x)20 のとき,つまり, D<0 のときであ b2- ac f"(x)=0 が重解をも つか実数解をもたない 場合,f(x)20 である から、 る。 よって,k(k-6)<0 を解いて, 0SRS6 CL(1) D=0 0 :/+/へ