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474
発展例題 91
1
1
α=1, an+1=
ant.
によって定められる数列{an} について
2
3n
(1) bn=2"an とおいて, bn+1 を bn で表せ。
(2) (1) を利用して,数列{an}の一般項を求めよ。
CHARL
DETROL
& GUIDE
複雑な形の漸化式
おき換えを利用し,漸化式 Cn+1=Cn+f(n)
または Cn+1=pcn+α に直す
(1) an, an+1 をそれぞれ bn, bn+1 で表して, 漸化式に代入する。
(2) まず,数列{bn}の一般項を求める。
2n+1
3"
4-6
[類 室蘭工大]
bn+1=b₂+₁
発展
←2"> 0, 2n+1>0
1,2,3,
してもと
解答
(1) 6m=2"am とおくと bn+1=2n+1an+1
bn
bn+1
よって
An = 2n,
an+1= 22+1
これらを与えられた漸化式に代入すると
bn+1 16m 1
(*) の両辺を27 +1倍し
+
すなわち
22+1 22" 3 (*)
たもの。
2"+1 4 2n-1
←数列{bn}の階差数列は
(2) (1) から
bn+1-bn²
3" 33
初項 公比 1/3の等
4
3'
b1=2′α=2 であるから n ≧2のとき
比数列。
2
(1-(-/-)"})
n=14 2\1
1+1/²/3/3/
=
=2+
2
1--/-/-
3
2 \n 1
2 \n
6-4 ( ²3 ) ² ² - 6 - 6 (-²3)".
=
-(-/-)-(-)*
2
式
を代入すると
=1
b1=6-61=2
3
初項はb1=2 なので, この式は n=1のときにも成り立つ。
1
bn 6 6
したがって, 数列{an}の一般項は
an =
=
2n 22 3″
2
1
EX 91 ® α = 1, Qn+1=
n+1 (n+1)! によって定められる数列{an}について
-an
+
n!
(1) 6= 27 とおいて, b1 を 6m で表せ。
(2) (1) を利用して,数列{an}の一般項を求めよ。
[類 中央大]
出される
解
(n+1)/
[1]
[1]
に
[2]
[1]の
[1],
7
か
