(2x＋y-13)＋(3x-5y)‪√‬3=0を(1)のやり方で(2x＋y-13)をa、(3x-5y)‪をbとしてb=0を(2x＋y-13)＋(3x-5y)‪√‬3=0に代入すると(2x＋y-13)=0になりこれを(2x＋y-13)＋(3x-5y)‪√‬3=0の式に代入する... 続きを読む

基礎例題 58 (1) a, bは有理数とする。a+b/3 30 のとき, V3 が無理数であること を用いて,b=0 を証明せよ。 [類 三重大) (2)(2+3/3)x+(1-5/3)y=13 を満たす有理数x, yの値を求めよ。 CHART GUIDE) の明 証明の問題 直接も対偶利用もだめなら 背理法 (1) 直接証明するのは難しいから, 背理法を用いる。 6キ0 であると仮定して, 矛盾 を導くことで,b=0 を示す。 (2) (1)の 結果を利用 する。まず, 式を ●+■/3 =0 の形に変形する。 日解答日 (1) 6キ0 と仮定する。 ←6キ0 のとき b/3 =-a の両辺を6 A で割ることができる。 3=-5 a a+b/3 =0 から の a, bは有理数であるから, ① の右辺は有理数である。 ところが0の左辺は無理数であるから, これは矛盾である。 したがって 6=0 (2) 等式を変形すると (2.x+y-13)+(3x-5y)V3=0 … ② + ■/3 3D0 の形 x, yが有理数のとき, 2x+y-13, 3x-5y も有理数であり, 3 は無理数であるから,(1)により に。 3x-5y=0 · の断りは重要。 ③ を②に代入すると 2.x+y-13=0 4) 3 ③, ④ を解いて x=5, y=3 -2x+y-13+03 =0 Lecture a+hT の性質

黄色く囲った部分はなぜ分数なのですか？

基礎例題57 基礎例題56 O00 2 は無理数であることを, 背理法を用いて証明せよ。ただし, 整数nにつ いて, n°が偶数ならばnは偶数であることを用いてよい。 -6 ,J CHART GUIDE) 証明の問題 Saupo 背理法で,前ページの例題56 と同様に /2 =r (rは有理数)とおいてもうまくいか 一約分できる数を除外するため。 直接も対偶利用もだめなら 背理法 ない。そこで,ここでは m V2 = (m, n は1以外の正の公約数をもたない自然数) とおく。 n この等式の両辺を2乗して, 矛盾を導く。 ー2>0であるから, 自然数とした。

数学IIB 数列の問題です。 赤い四角が問題と解答です。 青い線が分からない箇所です。 青い線には6(k-1)＋5と書いてありますが、 なぜこのような式が立つのでしょうか？ 理由を教えて下さい。

430 倍数に関する和など 基礎例題 68 1から 100 までの整数について, 次のような数の和を求めよ。 (2) 6の倍数でない数 (1) 6の倍数 (4 6で割ると1余る数 (3) 6の倍数または5の倍数である数 CHART Q GUIDE) 倍数に関する和 -n(a+1)を活用 2 等差数列の和の公式 1から 100 までの整数の和から(1)の和を引く。 (3) 6の倍数の和と5の倍数の和を合わせたものから, 6の倍数かつ5の倍数の和を 引いたもの。 (解◆答) 96 であり,これは初項6, 公 -100-6=16余り4 また 100-4396 (1) 6の倍数は 6,12, 18,…………, 差6,項数 16 の等差数列である。 1 よって,求める和は .16(6+96)=816 2 -6+12+ +96 =6(1+2+… +16) (2) 求める和は1から100 までの整数の和から(1)の和を引いた …16(1+16) 2 =6× 1 もので -100(1+100)-816=5050-816=4234 2 =816 として求めてもよい。 (3) 5の倍数は 5, 10, 15, …, 100 の全部で20 個あるから, 1 5の倍数の和は(1) と同様にして 20(5+100)=D1050 2 6の倍数かつ5の倍数は 30 の倍数であるから,その和は 30+60+90=180 よって,求める和は(1) から (4) 6 で割ると1余る数は, kを自然数として 6(k-1)+5, す 816+1050-180=1686 816+1050 では 30 の倍 数が2度加えられている ので,重複の分を引く。 なわち 6k-5と表される。 6k-5<100 とすると k<- 105 =17.5 から 6 k<17 よって, 6 で割ると1余る数は1, 7, 13, これは初項1,公差6,項数 17 の等差数列である。 ………, 97 であり, -6-17-5=97 1を忘れないように注意 しよう。 したがって, 求める和は 17(1+97)=D833

白チャート数学ⅠA 整数の問題です。 赤い四角の部分が問題と解答です。 青い線が疑問点です。 青い線の部分には「mとnは自然数であるから‥」と 書いてあります。nは問題文に「nは自然数とする」と書いてあるので分かるのですが、なぜmも自然数と言えるのでしょうか。

(2) のの解はVn"+12 を含む式となるから,この式が整数になる必要がある。 その際は,下の解答のように, 0<m-n<m+n を利用して値の絞り込みを効率 オイL 433 93 発展例題92 発展例題 について 方程式① を解け。 CHART GUIDE) 2次式が整数となる条件 4章 +12=m (m は整数) とおき,両辺を2乗して整理すると って、積が12 となるように m+n, m-nの値の組を決める。 よく行うとよい。 田解答日 0 解の公式により x=ーn土/n-1(-12)=-n±n'+12 -2次方程式 ax°+26'x+c=0 の解 は -ac x= a n°+12=m° ゆえに m?-n°=12 これを利用する。 (m+n)(m-n)=12 3) ー()×()=(整数) よって mnは自然数であるから,m+nも自然数で, ③より m-n 0<m-n<m+n 3を満たすとき も自然数である。また m+n>}ならm-r>0 | m+n=12 |m+n=6 m-n=2' m+n=4 掛けて12になる 12の正 の約数の組、(き)に注意。 ゆえに,③から m-n=1 m-n=3 13 11 7 解は順に (m 2' 2 2'2 ーn=2 のとき,①から x*+4x-12=0 よって(x-2)(x+6)30 よって このとき, 方程式①の解は, ② から x=-2±/16=-2±4 すなわち x=2, -6 n=2 一般に,整数 a, bについて,(a+b) (α-b)=D26(偶数) であるから, a+bと 4ー6はともに偶数であるか, またはともに奇数である。 このことを利用すると,上の 解答のの組は省くことができて, さらに効率よく進められる。 mちるとき 発展学習

高校数学　IIB範囲　ベクトルの問題　質問です！ なぜ、l e l=1なんですか？

a=(5, 1) と6=(2, x) が垂直になるようなxの値を求めよ。 (2) C=(V3, 1)に垂直な単位べクトルをを求めよ。-T+ ベクト 367 礎例題 17 基礎例題 16 基礎例題 49 0O0 のとき、 からとa+26 の値を求のよ 1章 CARI GUIDE) 3 ベクトルの垂直条件 a」t →6=0 を利用(G+0, 5+0) iでない2つのベクトルaとbのなす角が 90° のとき, àとる は垂直であるといい, aiō と書く。 (2) e=(x, y)とする。 2 大きさの条件と垂直条件をx, yの式で表す。 |e=1 からe=1', iē から ごe=0 3 2で作ったx, yの連立方程式を解き, èを求める。 5S 計解答日 『1) a-6=0 から 5×2+1×x=0 よって x=-10 -5=5×2+1×x 2) =(x, y)とすると,=1 であるから x+y=1…O-f=" 『aであるから こ2=0 すなわち V3x+y=0|-でè=/3xx+1×y ソ=ー/3x- x*+(-/3x)°=1 よって の のをOに代入して から 4 オー+。 2 ゆえに, x= よって 4x?==1 よって 2-20-6+5-13 1_2時 であJ lのとき 2 V3 内 のから ーのときy=- 2 /3 ら60 3 -eは2つある。 1 2 +26204 X=ー V3 2 したがって 2 2 kecture ベクトルの垂直 ベクトルが垂直 なす角を0とする。 ベクトルの内積

この問題なんですけどなぜ途中式で 10:6=5:3 よってDC＝分数になるんですか？？

EX 49° AB=4, BC=5, CA=6 である △ABC において, ZAおよびそのが 二等分線が直線BC と交わる点を, それぞれ D, Eとする。i 354 会角形の角の二等分線と比 三角形には, 重号 この重要な点 AB=10, BC=5, CA=6 である△ABC におい て, ZAおよびその外角の二等分線が辺BCまた はその延長と交わる点を, それぞれ D, E とする。 このとき,線分 DE の長さを求めよ。 基礎例題49 ら。 10" 三角形の D Piay Back 中学 B CHARI QGUIDE) 三角形の角の二等分線と比 (線分比)=(2辺の比) 三角形の3辺の垂 定理3 三角形形 1点で [図 1] ADは ZAの二等分線 [図1] 内角の二等分線の定理 BD:DC=AB:AC [図 2] AE は LAの外角の二 等分線 → 外角の二等分線の [図2] A iの食代 A A この三角形の3辺 いい, 外心を中心 [定理3の証明] の交点をOとす 定理 B D CB C BE:EC=AB:AC を利用する。 日解答田 よって OB AD は ZAの二等分線であるから ゆえに,点Oは BD:DC=AB:AC したがって,A ゆえに BD:DC=10:6=5:3 3 DC= 5+3 よって 3 15 I三角形G -BC= -×5=- 8 8 -10、 6. また, AE は ZAの外角の二等分線で B B D 5 あるから BE : EC=AB: AC Piay Back のゆえに BE:EC=10 :6=5:3 中学 C よって BC:CE=(5-3) : 3 10- C B =2:3 CE-ac-3- B 三角形の3つの内 ゆえに "E 6 =BC= 2 15 ×5= -10 定理4 三角形 2 -3BC=2CE したがって 2 DE=DC+CE 1点で 15 15 8 75 2 8 この三角形の33 といい、内心を中 求めよ。 機分DEの

黄色く囲ったところの２分の３はどういう意味ですか？ 教えていただきたいです！

三角形の角の二等分線と比 基礎例題 49 AB=10, BC=5, CA=6 である △ABC におい て,ZA およびその外角の二等分線が辺 BC また はその延長と交わる点を,それぞれ D, Eとする。 このとき,線分DE の長さを求めよ。 A-10 D B E 形の3 CHART Q GUIDE) 三角形の角の二等分線と比 った (線分比)=(2辺の比) aa [図2] (図1] AD は Aの二等分線 [図1] 内角の二等分線の定理 AA A 【図 2) AE は ZAの外角の二A/ 交の 等分線 → 外角の二等分線の BD:DC=AB:AC C の三角所 定理 B D CB E BE:EC=AB:AC 理3の の交点 を利用する。 の当 A0 日 解答田 ()3A 3AD- よって AD は ZA の二等分線であるから ゆえに、 BD:DC=AB: AC DVD BD:DC=10 :6=5:3 TAS あケ A したが ゆえに 10 b 3 DC= 5+3 よって -BC= 3 ×5= 15 8 8 10。 また, AE は ZA の外角の二等分線で 6/ D B' B C あるから BE:EC=AB: AC のゆえに BE:EC=10 :6=5:3 A よって BC:CE=(5-3) : 3 an-10- C 6 =2:3 B B -x5- ゆえに 3 BC= 2 3 15 -×5= E d:0a C:b CE= -10- 形の 2 したがって DE=DC+CE 13BC=2CE 15 15 75 8 2 8 2--タ

黄色く囲った部分がなんで√3×cmになるのかが分かりません。どなたか教えて頂きたいです🙇‍♀️

232 正四面体の切り口の三角形の面積 基礎例題 139 基礎例題138 0 1辺の長さが1である正四面体 ABCD において, 辺 CD の中点をMとし,ZAMB=0 とするとき (1) cos0の値を求めよ。 A (2) AABM の面積を求めよ。 B M ac SHART Q GUIDE) 空間図形の問題平面図形(断面図)を取り出す 線分や角は 三角形の 辺や角 としてとらえる (1) coseは,△ABM の1つの角の余弦 ととらえる。 (2) かくれた条件 sin'0+cos'0=1 を利用して, sin0の値を求める。 日 解答田 (1) AACM, △BCM は, 内角が30°, 60°, 90° -CM:AC: AM の直角三角形であるから A(B) =CM:BC:BM =1:2:/3 1 3 AM=BM=V3 CM=/3 2 0 1/30|30°\1 2 ゆえに,△ABM において, 余弦定理により 60° 60° M D V3 -12 2 3 2 2 1 る 2 Cos0= 1 V3 V3 2. 2 3 2 (2)(1) から \2 sin'0=1-cos'0=1- 8 HAA tsin°0+ca 三 9 2/2 sin0= 3 sin0>0 であるから -0°く0<90° よって,△ABMの面積は AABM-AMEM- - 40 2 V3 2/2 V2 fand- -AM·BMsin0= 2 一面積の公式。 2 3 nの 1-2|3|2 1|3

白チャート数Bの数列の質問です。 黄色い四角で囲った式の変形の意味がわかりません。 なぜ、シグマのk=0からk=1にしてもいいのか、シグマの1だけn？が15から16に変わってるのか、、など 分かる方がいらっしゃれば教えてほしいです。 よろしくお願いします🙇

放物線 y=x° と直線 y=15x で囲まれる領域内(境界線を含む)にある 格子 格子点の個数 OO00 発展例題 96 点(x 座標もy座標も整数であるような点)を考える。 (1) x座標が3である格子点の個数を求めよ。 (2) この領域内にある格子点の個数を求めよ。 (類帝塚山大 CHARI Q GUIDE) 領域内の格子点の個数 線分上の格子点の個数を求めてこの公式を利用 まず, 領域を図示して考える。 直線x=k 上の格子点の個数をkの式で表す。 (1) 直線 x=3 上の格子点の座標を(3, y) とすると 3°<y<15·3 (2) 直線 x=k 上の格子点の座標を(k, y) とすると ピsy<15·k なお,●SySAのとき, 格子点の個数は ▲-●+1 (個) kが k=0 から k=15 まで動くときの格子点の個数は こ(x=k のときの格子点の個数) 15 k=0 日 解答田 x=15x とすると よって,放物線 y=x° と直線 y=15x は2点(0, 0), (15, 225)で交わる。ゆえに, 領域は図の赤く塗った部分 (境界線を含む)である。 (1) x座標が3である格子点は, 直線 x3=3 上にあり, その座標を(3, y) とすると 25 3°Sy<15·3 よって,求める格子点の個数は (2) 領域内の格子点で, 直線 x=k (kは整数)上にある点の座 標を(k, y)とすると, (1) と同様に考えて x(x-15)=0 ソー、 225 iy=15x 45 9 0 |3 15 x すなわち 9SyS45 45-9+1=37(個) <y<15k よって,その格子点の個数は 15k-k°+1(個) k=0, 1, 2, ……, 15 であるから, 求める格子点の個数は 15 2(15k-ピ+1)=15k-こピ+21 15 15 15 -ん- k=0 =0 k=0 k=0 k=1 k=0 k=0 15 =15こk-2+21 0S&S15 を満たすんは 16個あるから 15 16 k=1 k=1 e=1 16 =15· 2 す15-16--15-16-31+16=576(個) 15 21=21 *15·16·31+16=576(個) k=0 k=1 6

これでもし、標準式の条件:(bx1)^2-(ay1)^2=(ab)^2を用いなければどのようにして求めるやり方がありますか？ 高校範囲超えてもいいので教えていただきたいです。

96 2次曲線の性質の証明 発展例題 56 双曲線上の任意の点Pから2つの漸近線に垂線 PQ, PRを下る- き,線分の長さの積 PQ·PR は一定であることを証明せよ。 GHART GUIDE) 2次曲線の性質の証明 標準形を利用し,計算をらくに x? v2 -=1 (a>0, b>0)を利用す この問題では,双曲線の標準形 a° 29 1 P(x,, y)とし, x,, y の満たす条件を式に表す。 2 PQ·PRをa, b, x, y で表す。 3 1の結果を代入し,PQ·PR がa, bだけの式で表されることを元 田解答田 ー直交 双曲線の方程式を y? =1(a>0, 6>0) x2 ーこの (xi, Yi) x a° ない。 \a とすると,漸近線は,2直線 bx+ay=0, また,P(x,, y)とすると,点Pは双 bx-ay=0 (*)では 公式を bx-ay=0 bx+ay=0 点(x, px+q= px x。 曲線上にあるから a° 6° よって 6°x,?-d°y?=d°6°………の ox,+ay. |bx,-ayi| 16x8-αy?|| また PQ·PR= 168+α° VB+a° 6°+a° 0を代入して PQ·PR= a'6° (一定) a°+6° Lecture 直交座標を利用した証明 2次曲線に関する図形的な性質の証明には,直交座標を利用して, 計算 標の決め方は, O 0を多く取る② 対称性が利用できる それには, 2次曲線の標準形が利用できるように座標をとると,計算量が少 という点がポ 上の例題で。 x* a° ニー1(a>0, b>0) の場合にっいて示す必要はない 56° 楕円の焦点を通り, 短軸に平行な弦を ABとする。短軸 長軸の長さと弦ABの長さの積に一致することを証正明せよ。