①から③までの場合の数の求め方の考え方を教えて欲しいです 説明を読んでもどう違うのかよくわからないです…

356 第6章 場 Check 例題 200 整数を作る問題2) (2) 3の倍数は何個できるか 作るとき, と(1) 全部で何個の整数ができるか 考え方 2, 3, 4から重複を許して4回とるのとは違う. このような場合は, 丁寧に場合分けをして考える。 2222 の1通りのみ 1通り ○に入る数は2のみだから, (i) 4個中3個の数が同じ場合 (O, 0, O, △) ○に入る数は2か3だから, △に入る数は○以外の2通り 選んだ4つの数の並べ方は, 解答(1) (i) 4個の数がすべて同じ場合 (O, ○, O, O} ○は2か3. △は○以外のとちら 2通り か、 大 4! 通り 3! 4つの数の順序を える。 (同じものを含む nみで○ぜらク 4!=16(通り) したがって, 2×2×- 3! ( 4個中同じ数が2個, 2個の場合(O, O, △, △} O, △に入る数は, 選んだ4つの数の並べ方は, 列) Ca 通り 80 4! 通り 2!2! 4! =18(通り) 2!2! したがって, 3C2× () 4個中2個の数が同じで, 残りは違う数の場合 {O, O, △, 口} 0 ○に入る数は, Ci 通り 選んだ4つの数の並べ方は, 通り 4! 2! したがって, .Ci× =36 (通り) 3C,× よって, (i)~iv)より, 1+16+18+36=71 (個) 和の出肌

なぜOM=MA=MBと言えるのか教えてください🙇‍♀️

526第10章 図形の性質 Check! 例題 移動する定線分の中点の軌跡 292 直交する定直線 XX', YY'の交点を0とする。 いま,点Aが定直線 XX'上を,点Bが定直線 YY'上を,線分AB=a (一定)の関係を満た Y B M A X X 0 しながら動く。 このとき,線分AB の中点Mの軌跡を求めよ。 Y1 考え方点Mは直角三角形の斜辺ABの中点 → OM=MA=MB YIB 解答》 A, Bが0に一致しないとき, 1 OM=;AB=-a (一定) M? 点Mは直角三角形の斜 辺 AB の中点 が成り立ち,A, Bが0と一致するとき も明らかに成り立つ。 したがって、条件を満たす点は, 0を 0 中心とし、 aを半径とする円周上にあ Y1 る。 また,この円周上の任意の点(ただし, XX', YY'との交 点を除く)をPとすると,PO=PA, PO=PB を満たすO と異なる点 A, Bがそれぞれ XX', YY' 上にとれて, 2OPA+ZOPB=(180°-2/POA)+(180°-2/POB) =360°-2(ZPOA+ZPOB) =360°-2ZAOB=180° したがって,3点 A, P, Bは一直線上にあり, AP=BP=OP=;aとなるから条件を満たす。 30円 PがXX'上, YY'上にあるときも明らかに条件を満たす。 よって,求める軌跡は, 0を中心とし,一のを半径とする 円である。 Focus, 定点0からの距離が一定である点の軌跡は円である

なんで黄色い線を引いている所が400で割り切れる事がわかるんですか？教えて下さい。

20 (33 38 第1章 式 と計算 Check 二項定理の利用 例題 13 次の問いに答えよ。 (1) 214を 400 で割ったときの余りを求めよ。 (2) 101100 の下位5桁を求めよ。 (京都激市) (お茶の水女子大 例題 nを正 n n ることを考える。 n M M (2) 101=1+100 より, 101-00=(1+100) 00=(1+10°)100 考え方 b= =2Co20°+21C,20'+2C20°+… …+C2o2020+21C21204 解答(1) 21=(1+20)21 0 う (1 二項定理であ 部分の て20で割り MM 400=20° より, 21 C20~+ 21 C2120 は 400 の 解答」 倍数となる。 400 の倍数とならない項,つまり, 21 Co20°+21C,20 を考えると, 21Co20°+21C,20'=1×1+21×20 が導 残った部分の 余りを求める。 20°=1 (2ャ=1+420 =421 0 ー4,0 =400+21 よって,400 で割った余りは 01+ る 21 (2) 10100=(1+100)100- (1+10°)!00 =100Co(10°)°+100C(10°)'+100C2(10°)? 830t10Ca(10°)+ +100C99(10°) 99 + 100C100(10°)100 0-100 Cg(10°)+ +100C100 (10°) 100 は (10°)3D1000000 の倍数であり,下位5桁がすべて0になるので, 残り の項を考えると, 100Co(10°)°+ 100C,(10°)'+100C2(10°)?0t 部分の項 5桁がすべてい るため計算しる よい。 M Focu =1+100×100+ 0 100-99 -×10000 2 =1+10000+49500000 注) =49510001 よって,下位5桁は, 41 定の酒の 10001 となる 練習 次の問いに答えよ。 13 (1) 3292を

（1）の（ウ）で、3の倍数になるのは、各位の数の和が3の倍数になる時であるという事はわかるのですが、各位の桁が3桁になるというのは、どのように考えたら良いのでしょうか？普通に足してみて3の倍数である事を確かめるのですか？もう少し簡単にわかる方法があるのですか？

この場合は,0のときと 2,4のときに分けて考えるとよい。 (1) 0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る。 (2) 0, 1, 2, 3, 4, 5から異なる3つの数字を選んで3桁の整数を作る (ウ) 3の倍数になるのは,各位の数の和が3の倍数のときである。(p.419参照) 336 第6章 場台 2 順 Check 列 337 (i) 一の位が2, 4のとき 百の位は0と一の位の数以外の4通り 十の位は百の位と一の位の数以外の4通り したがって、 よって,(i), (i)より,偶数は、 例題 185 整数を作る問題(1) このとき,次の数の個数を求めよ. 次異なる整数 百の位が0以外にな ることに注意する。 A2 偶数 (ウ) 3の倍数 4×4×2=32(通り) 20+32=52(個) ()3の倍数になるのは,各位の数の和が3の倍数 のときである。 和が3の倍数になる3つの数の組は、 (0, 1, 2}, {0, 1, 5}, {0, 2, 4), {0, 4, 5), (1, 2, 3}, {1, 3, 5}, {2, 3, 4), {3, 4, 5} である。 {0, 1, 2} は,102, 120, 201, 210 の4通り {0, 1, 5}, {0, 2, 4), {0, 4, 5} も同様に4通り したがって, 4×4=16 (通り) {1,2, 3} は,123, 132, 213, 231, 312, 321 の とき,異なる整数の和はいくつになるか。 考え方(1) (7) 0を含む6つの数字から3桁の整数を作る ときは,百の位は0にならないことに注意 く3桁の数) (2桁の数 百 十 ■ロロ Lo以外 百 + (イ) 偶数になるのは, 一の位が, 偶数,つまり、 0, 2, 4の場合である。 する。 0ロロ 百の位が0以外にな ることに注意する. 百,十,一の位の数を a, b, cとすると, 100a+106+c=3×33a+a+3×36+b+c 6通り {1, 3, 5}, (2, 3, 4), {3, 4, 5} も同様に6通り したがって, よって, =3(33a+36)+(a+b+c) より, 6×4=24(通り) 16+24=40(個) 3の倍数になるのは, a+b+cが3の倍数のときである。 (2) 百の位が1となる3桁の整数 は,右のように20個ある。 このとき,各位で, 0~5の 数がいくつ使われているか考 えるとよい。 3桁の整数は 百|十 百 百|+ 1|5 (2) 百の位には1~5の数字が各 20回ずつ現れる。 十の位には, 0の数字が合計20回, 1~5の数字が各 16回 1 0 1 3 0 百の位が1の場合, 十の位に0が現れる のは4回,残りの2 ~5も同様。 0 2 2 4 4 ずつ現れる。 ーの位も十の位と同様である。 したがって, (1+2+3+4+5)×20×100 百の位 +(1+2+3+4+5)×16×10 十の位 +(1+2+3+4+5)×16×1 の位 =(1+2+3+4+5)×(2000+160+16) =15×2176=32640 よって,求める和は, 32640 33 5 5 4 | 20個 2 0 4 0 100a+106+c で表されるこ とに注意する。 第6章 0は省略している。 3 2 m 4 3 M 5 5 解答(1)(ア) 百の位は0以外の数なので, まず, 0以外の数で 百の位を考える。 5通り 残りの位は,百の位の数以外の5個から2個 取り出して並べればよいので, sP2=5×4=20(通り) よって,求める3桁の数は, 十, 一の位は0も入 れて考える。 Focus n個からr個を取る順列の総数は,P, 通り n桁の整数 =→最高位は0以外の数となる 5×20=100(個) |5×P2 (イ) 偶数は, 一の位が0のときと一の位が2,4のと きに分けて考える。 (i)一の位が0のとき 残りの位は, 0以外の5個から2個取り出 して並べればよいので, sP2=5×4=20(通り) 0, 1, 2, 3, 4, 5から作られる3桁の自然数について, 次のような数の個数また 練習 100 は和を求めよ、ただし、同じ数字は1度しか使わないこととする。 185 /(3))奇数の和 (2) 5の倍数の個数 9 (1) 奇数の個数 →p.345DD 1 LO 23

③だけなぜ ◯に入るのは何通りか。　 というのを求めてるのでしょうか？ ①〜③の考え方のコツを教えて欲しいです…

9個の数字 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4のうち4個を使って4桁の数を Check 例題 200 整数を作る問題2) 作るとき, (1) 全部で何個の整数ができるか. 「2」は4回まで, 「3」 は3回まで, 「4」は2回までという制限があス このような場合は, 丁寧に場合分けをして考える。 考え方 2, 3, 4から重複を許して4回とるのとは違う。 (1) (i) 4個の数がすべて同じ場合({O, O, O, ○} ○に入る数は2のみだから, (i)4個中3個の数が同じ場合 (○, O, O, △} ○に入る数は2か3だから, △に入る数は○以外の2通り 2222 の1通りのみ 解答 1通り ○は2か3. 2通り △は○以外のとちち 全部で4つ か。 選んだ4つの数の並べ方は, 通り a中で Oぜら7 4つの数の順序を える。 (同じものを含む を歩た 3! 4! =16 (通り) したがって, 2×2× 3! ( 4個中同じ数が2個, 2個の場合(O, O, △, A} 0, △に入る数は, 列) 3C2 通り 4! 2!2! 選んだ4つの数の並べ方は, 通り 本 818 ISTS (v 4個中2個の数が同じで, 残りは違う数の場合 したがって, 4! 2!2! 3C2× =18 (通り) O〇に入る数は, {O, ○, △, 口} C」 通り 選んだ4つの数の並べ方は, 4! 21通り C,×=36 (通り) したがって, 4! よって, (i)~(v)より, 2! 1+16+18+36=71 (個) 3の位都

（2）です。なぜここは3で割っているのですか？

338 (2) これらの5個から3個を取り出して円形に並べる方法は何通りある 考え方(2) 異なる3個の円順列と同様に5個から3個選んだ場合も,重複する場合がある。 a, b, c, d, e の文字が書かれた王が1個ずつあるとき,次の問いに答 Check 例題 186 円順列(1) えよ。 (1) これらの玉を円形に並べる方法は何通りあるか. (2) これらの5個から3個を取り出して円形に並べる方法は何通り+. か。 (3) a, bが隣り合うように円形に並べる方法は何通りあるか。 (4) これらの玉にひもを通し, 輪を作る方法は何通りあるか、 (3) a, bを1つの玉とし, 4個の円順列を考える。 (4)ひもを通して輪を作るとき, 右のように円 順列では異なる2通りが, ひっくり返すと 同じものになっている. このような順列を じゅず順列(ネックレス順列)という. 解答(1) 異なる5個の円順列であるから, (5-1)!=4!=4·3·2·1=24 (通り) (2) 異なる5個から3個選んだ円順列であるから, a 5P3_5·4·3 =20(通り) 3 2

なんでx=0、x=1に場合分けしないといけないんですか？

考え方 一直線上にない3点を通る平面はただ1つ決まるから, 直線上に適当な2点を定め、 704第10章 空間のベクトル Check 例題 397 平面の方程式の決定 y-1__a+1 を含み,点A(1,-2, 3) を通る平面。 直線:x-1= 2 2 の方程式を求めよ。 考え方 一直線上にない3点を通る平面はただ1つ決まるから,恵線。上に適当なクよ。 ww その2点と点Aを通る平面の方程式を求める。 解答 x=1, x=0 として, 直線l上の2点B(1, 1, -1), C(0, -1, 1) を定める。 イで一直線上にない3点A, B, Cを通る平面上の任意の点 をP(x, y, 2)とする。 AF=sAB+tAC (s, tは実数)が成り立ち, AP=(x-1, y+2, z-3), AB= (0, 3, -4), AC=(-1, 1, -2) であるから, (x-1, y+2, z-3)=s(0, 3, -4)+t(-1, 1, -2) よって、 x-1=-t, y+2=3s+t, z-3=-4s-2t これより,s, tを消去すると, 2x-4y-3z=1 インお血 さtiは x=1, 2などでもよ。 ec HO ( ILAC A SAB a 方 の はオ (山

ここは自然数と書かないとダメですか？ ダメな場合は理由教えて欲しいです。

考え方 実数は"有理数(整数と分数)”と“無理数”で構成されているので,無理数であることを (2)/3 が無理数であることを用いて,4-V3 は無理数であることを 2つの自然数mとnが1以外に公約数をもたないとき, mとnは互いに素という。 Check 背理法(1) 160 例題 (お茶の水女子大 次の問いに答えよ。 (1)/3 は無理数であることを証明せよ。 証明せよ。 考え方 実数は"有理数(整数と分数)”と“無理数”で構成されているので 否定すると有理数になる。 (p.419 参照) 結論の否定を仮定 「無理数でない」は 「有理数である」 解答(1)/3 が有理数であると仮定すると, V3=4(かとqは互いに素な自然数) p とおける。両辺を2乗して分母を払うと, +3が=q° ① 9は既約分類 p …D +5 3がは3の倍数だから, q°も 3の倍数である。 したがって, qも3の倍数となり,q=3r(rは自然 数)とおける。 のに代入して、 これから,が=3r? 3rは3の倍数だから, がは3の倍数 つまり, pも3の倍数となる。 したがって, p, qがともに3の倍数となり,かとq が互いに素な自然数であることに矛盾する. よって,/3 は無理数である。 い) 「が3の倍数なら。 qも3の倍数」 (例題159参照) 3が=9r? ともに3の倍数の場 本3が公約数となる。 w

写真のところの因数分解？の仕方が分からないので教えてください！

△ABP において 合LAPB △ABC において, 余弦定理により =180°-(105+ 4+5°-6° T 2.4·5 8 ZAPB=180°-(ZPAB+ZPBA)=45° 09 sin45° COS C = AP =45° 正弦定理により sin 30° .50 GAP= よって, △BCD において, 余弦 50sin30° =25/2(m) BD'34°+2°-2·4.2. よって AP= sin 45° 8 BD=18 △APQにおいて ZPAQ=ZPAB-ZQAB=60° 弦定理により BD>0 であるから ロLPAQ=106-6 PQ'=(25/2)?+ (50/2 )?-2·25/2·50/2 cos 60° D+PQ=AP4J0 126 00+PQ=AP+A00 Se-Ter -2AP·AQC0S 4 PR △ABC において, 次の等式が成 =(25/2){1+2°-2-2) (1) (6-c)sinA+(c-a)sinB C=D15 お合ち大 (2) c(cos B-cos A)= (a-b)(1 =25°.2(1+4-2)==25°.6 ゆえに, PQ>0 であるから PQ=25/6 (m) (1) △ABC の外接円の半径をR (6-c)sinA+(c-a)sin =(6-c). D 2R 9 PR 2R 水平な地面の地点Hに, 地面に垂直にポールが立っている。 2つの地点 A, BからポーM 124 端を見ると, 仰角はそれぞれ30° と 60° であった。また, 地面上の測量では A, B間の 20m, ZAHB=60° であった。 このとき, ポールの高さを求めよ。 ただし,目の高さは いものとする。 ab-ca+bc-ab+ca- 2R ポールの先端をP, ポールの高さを PH=xm とおく。直角三角形 0= したがって、与えられた等式 (2) 余弦定理により c(cos B-cos.A)-(a-b =c(cosB-cos.A)-(a-b C+αーぴ +c- d APH において 単位:m -=HV tan 30° 30% A X X (m) x A E 26c ニ D 直角三角形 BPH において 3x 3。 ワー9+0 H Check (heck? heck!

Pの値を求める際に、5-3ではなく3-5をしている理由を知りたいです。

Check 考え方 放物線 y=4px の頂点の座標は (0, 0) である。 の線 楕円 双曲線 例題 52 放物線の決定2 焦点のx座標が3,準線が直線 x=5 で, 点(3, 一1)を通る放物線の方 程式を求めよ。 この放物線をx軸方向に a, y軸方向に6だけ平行移 動した点(a, b)が頂点の放物線は, (yーb)-4p(x-a) と表すことができる。 a (日) 16 トプ トース: 解答 焦点の座標を (3, b) とすると, 準線が直線 x=5 である から,頂点の座標は(4, b) とおける。 したがって,求める放物線の方程式は, (yーb)=4か(x-4) 0 となる。 ここで, これより, x=5 準線- Lふさ 焦点 頂点 古(4,6) 2p=3-5=-2 1に下ろし (3,6) p=-1 るケ0Dより, (yーb)?=-4(x-4) ①に p=-1 を代入一 これが点(3, 一1) を通るから, (-1-6)?=-4(3-4) より, る。 b=-3, 1 よって,求める放物線の方程式は, (y+3)?=-4(x-4),(y-1)?=-4(x-4) 30. 注》原点0(0, 0) が頂点の放物線 y=4px X8-4 こ (a,b) x=4qy 0- 0ー b a x軸方向に a, y軸方向に6だけ平行移動 点(a, b) が頂点の放物線 (yーb)=4p(x-a) ナ の和 (x-a)=4q(yーb) る 0| a