この（1）の問題がわかりません 考えすぎて分からなくなってきました。 (n-1)・2＋n・1の部分の表し方が分かりません。特に2や1の右側が理解できません。 答えは下です。 いろいろ書き込んでてすみません。

例題 263 の計算[3] =1*n+2 (n-1)+3(n-2)+･･・+(n-1) ・2+n･1 について 3 in (1) an を簡単にせよ。 ndi) (2) a1+a2+ax+･・・ + an を求めよ。 (n-1) 13 hel n Jet →例題2

赤のところが分かりません。 よろしくお願いします。

例題 30 x,yの2次式の因数分解 ⑩「★★ (1) yについての2次式9y²-12y+164k が完全平方式となるような定 数kの値を求めよ。 思考プロセス (2) x2+xy-2y2+4x+5y+hがx,yの1次式の積となるように定数k 1 の値を定め,x,yの1次式の積の形で表せ。因の左 minⓘ 完全平方式··· (多項式) の形で表すことができる多項式 (2) Action>> 1つの文字に着目 xに着目すると xについての方程式 の解x=y = (x+ Oy+△)(x+y+∇ ) • (*) と因数分解したい 2次式の因数分解は, 2次方程式の解を利用せよ 解 (1) 9y2-12y+16-4k=0 の判別式をDとおくと,左辺 が完全平方式となるための条件は D=0 D 2次方程式 よって |=x2+(y+4)x- (2y2-5y-k) =(xy y と因数分解される。 (*) のようになるのは、 どのような解をもつときか? =(-6)2-9(16-4k) = 36k-108 36k-1080 より k = 3 185 \ +1− 10 (2) x2+xy-2y2+4x+5y+kh=0 とおいて, xについて xについて解くと ただし x 整理すると x2+(y+4)x- (2²-5y-k) = 0°+ x) (S-x) = 8-4 (E) (8+66+6) (6- -y-4±√D₁ 3> 0 = 1 + xS+ ³x x= -y-4-√D₁ 2 S これがx,yの1次式の積となるとき, D1 はyについて の完全平方式である。 このとき (1) より h=3のとき, D1=9y2-12y+4= (3y-2) より x2+(y+4)x-(2y2-5y-3) 台 )(x-yの式) 2+8+1)-x} = 4+28+²x Jei D1 = (y + 4)2 + 4(2y2-5y-k) 1+x)=D, はこのxについての 2次方程式の判別式であ = 9y2 - 12y+16-4k+x)(x)=8-る。 x2+(y+4)x - (2y2-5y-k) =y−4+√D₁ 2 水 k=3 __-y-4+ (3y-2)]] 2}{x- x- 2 ={x-(y-3)}{x-(-2y-1)} =(x-y+3)(x+2y+1) ay 2 + by + c が完全平方式 となる。 ⇔ay2 +by+c = 0 が 重解をもつ ⇔ 判別式 D=0 の -y-4-(3y-2) 2 max2+bx+c=0の解を α, βとすると ax²+bx+c =a(x-a)(x-β) k=3のとき, D1 は 9y2-12y + 16-4k =9y2 -12y+4 2次方程式 練習 30 15x2+2xy-y+2kx+kがx,yの1次式の積となるように定数kの値を定 め,x,yの1次式の積の形で表せ。 ただし, 0 とする。 (1) p.67 問題30 59

(1)の〖3〗でf(0)＞0の条件がどこから出てくるのか教えて欲しいです。Actionに端点のy座標と書いてあるのですがそれがとこかも教えて欲しいです。お願いします🙏

例題 109 方程式の解の存在範囲[1] xについての2次方程式x-2ax-α+2=0が次のような解をもつと き,定数aの値の範囲を求めよ。 (1) 異なる2つの正の解 (3) 符号が異なる2つの解 思考プロセス 問題の言い換え (1) ⇒y= 1 (3) 共有点をもつ。 ⇒y= のグラフがx軸と x>0 の部分で異なる2つの のグラフについて [[1] x軸と異なる2つの共有点をもつ {[2] 軸がx>0 の部分にある [[3]x=0 における y座標が正 y= で共有点をもつ。 D 4 (2) 異なる2つの3より小さい解 リアテーブ のグラフがx軸とx<0 の部分と x>0 の部分 のグラフについて, x=0 におけるy座標が負 Action» 解の存在範囲は, 判別式・軸の位置・端点のy 解 f(x)=x2-2ax - a +2 とおく。 (1) 方程式 f(x)=0 が異なる2つの正解をもつための 条件は, y=f(x)のグラフがx>0 の部分でx軸と異 なる2つの共有点をもつことである。 よって,次の [1]~[3] がすべて成り立つ。 [1] x軸と異なる2つの共有点を もつから、f(x)=0 の判別式を Dとすると D > 0 =(− a)² − (−a+2) [3] f(0)>0であるから f(0) = -a+2>0 =a+2 + U 201 + a (a +2)(a-1) > 0 ... 1 よって<2 ... (3) ①〜③ より 求めるαの値の範囲は 012 1<a<2 ・座標から考えよ 48 =a²+a-2 よって, d+α-2 >0 より ゆえに a<-2, 1<a [2] 軸が x>0 の部分にある。 ○実y=f(x) の軸は直線x=4であるから=(x) 放物線y=ax²+bx+c Actions a>0 ･② b の軸は直線x= 2a f(x) を平方完成して考 0 V A (8) (1 (x) y=f(x)のグラフは下に 凸の放物線である。 S2x2S- (A) 3182X28- えてもい af(x)=(x-a)²− a² − a +² より, 軸は直線 x = d

〘 2〙でどうして軸がx=aと言えるのですか。 解説お願いします🙇‍♀️

例題109方 xについての2次方程式x2-2ax-a+2 = 0 が次のような解をもつと き,定数aの値の範囲を求めよ。 (1) 異なる2つの正の解 (2) 異なる2つの3より小さい解 (3) 符号が異なる2つの解 思考プロセス 問題の言い換え (1) y = 共有点をもつ。 のグラフについて [[1] x軸と異なる2つの共有点をもつ [2] 軸が x>0 の部分にある [[3] x=0 における y座標が正 ⇒y= のグラフがx軸と x>0 の部分で異なる2つの ATTERZ (3) y = Qy= で共有点をもつ。 のグラフがx軸とx<0 の部分とx>0 の部分 のグラフについて, x=0 における y 座標が負 解 f(x)=x2-2ax-α+2 とおく。 (1) 方程式 f(x) = 0 が異なる2つの正の解をもつための 条件は, y = f(x)のグラフが x>0 の部分でx軸と異 なる2つの共有点をもつことである。 よって,次の [1]~[3] がすべて成り立つ。 [1] x軸と異なる2つの共有点を もつから、f(x)=0 の判別式を Dとすると D> 0 D =(− a)² − (−a+2) f(0) = -α+2>0 Action » 解の存在範囲は、判別式・軸の位置・端点のy座標から考えよ -a+22 よって2 ..3 ①〜③ より 求めるαの値の範囲は 0 (a+2)(a-1) > 0 1 la (2) 42 SEXS (A) 149/(x) > (x)t x 012 1<a<2 (+ a O YA =a²+a-2 よって, d'+α-2>0 より ゆえに a<-2, 1 <a [2] 軸が x>0 の部分にある。 ①火y=f(x) の軸は直線 x = a であるから(土) 放物線y=ax2+bx+c a>0 ... ② b [3] f(0) > 0 であるから の軸は直線x=- 2a f(x) を平方完成して考 えてもよい。 f(x)=(x-a)^-a-a+2 より, 軸は直線x=0 1 S (P y=f(x)のグラフは下に 凸の放物線である。 x S212S- J

(ィ)の①の条件のk＞2がどうしてでてくるのかわかりません。解説お願いします🙇‍♀️

すべての実数xについて,不等式(k-2)x+2(k-1)x+3k-5>0 が成 例題 106 絶対不等式 [2] り立つような定数kの値の範囲を求めよ。 思考プロセス 例題105との違い・・・問題文では,単に「不等式」 となっており, 「2次不等式」とは限らない。 noit AG « Action 最高次の係数が文字のときは,かどうかで場合分けせよ DARESALEDON-Setm 場合に分ける 不等式 JS 0 ② より よって ゆえに 解 f(x) = (k-2)x2+2(k-1)x+3k-5 とおく。 (ア) k=2のとき 与えられた不等式は 2x+1> 0 これはすべての実数xについて成り立つとはいえない。 2のとき (イ) >0 両辺に すべての実数xについて f(x) > 0 が成り立つのは, 2次関数y=f(x)のグラフが下に凸であり,x軸と共 有点をもたないときである。 よって, f(x)=0 の判別式をDとすると k> 2･･･ ① かつ D<0 ･･･ ② k-2=0のとき 1次関数 y= 常にx軸より上側にある。 k-20 のとき 2次関数y= 常に x軸より上側にある。 上?下? k< -2k² +9k-9 - (2k-3) (k-3) < 0 (2k-3) (k-3) > 0 3<k 3 2' D = (k − 1)² – (k − 2)(3k-5) IND 4 (8+ X) 0-(0-3)(2+8) 3 k=2, ①, ③ より k> 3 (ア), (イ) より 求めるんの値の範囲は k> 3 [グラフは□に凸の放物線 3 2 のグラフが グラフとx軸の共有点は BALATO のグラフが 2 *-=- 070 y=f(x) 例題83 x CA Fot 不等式の解は x>- に限られる。 (+) +bx+y=f(x) 下に凸 D<0 1-2 x もし, グラフが上に凸で あれば、 次の図のように f(x) となる部分が存 在する。 y=f(x) x REFER niol ●①の条件を忘れないよう にする。

（1）で最初のaの範囲のことろにどうしてa＋1が出てくるのか分かりません。解説お願いします🙏

思考プロセス D 頻出 例題 74 2次関数の最大 最小 〔5〕･･･ 区間に定数を含む (2) ★★★☆ 2次関数f(x)=x2-4x+5 (a ≦x≦a+2) について (1) 最大値 M (a) を求めよ。 また, y = M(α) のグラフをかけ。 (2) 最小値m (a) を求めよ。 また, y = m (a) のグラフをかけ。 To Action 2次関数の最大・最小は,軸と区間の位置関係を考えよ 例題 69 幅2 場合に分ける 区間 a≦x≦a +2 が文字を含む。 aの値が大きくなるほど, 区間の全体が右側へ動くことから, 場合分けの境界を考える。 (1) 最大値 軸から遠い方の端点を考える。 (放物線は軸に関して対称であるから, 区間の中央 の値α+1と2の大小で場合に分ける。) (2) 最小値 軸が区間内かどうかを考える。 M(a) = f(a) f(x)=x2-4x+5=(x-2)+1 よって,y=f(x)のグラフは,軸が直線x= 2,頂点が大量の関S...aning 点 (2, 1)の下に凸の放物線である。 (1) (ア) a+1 < 2 すなわち α < 1 のとき 軸は区間の中央より右にあるから, f(x) は x = α のとき最大となる。 よって =a²-4a+5 = (a−2)² + 1 (イ) α+1 = 2 すなわち α =1のとき 軸は区間の中央にあるから, f(x) は x = 1,3のとき最大となる。 よって M(a) = f(1) = f(3) = 2 (ウ) 2 <a + 1 すなわち 1 <a のとき 軸は区間の中央より左にあるから, f(x)はx=a+2のとき最大と なる。 よって M(a) = f(a+2) = {(a+2) - 2}2 +1 = a² +1 Oa+22 Ay 2 O 123 x x 0a2a+2x 〔軸 O a a+2 「右側へ動いていく JUDET ANG 2次関数のグラフは軸に 関して対称であるから, 区間の端点 α, a+2 のう ち,軸から遠い方のxの 値で最大値をとる。 軸から遠い端点は x = a 後でグラフをかくから, 平方完成しておく。 グラフは直線 x = 2 に関 して対称であるから f(1) = f(3) (1) (0) MAR (1) 軸から遠い端点は x = a+2 となる。 f(x)=(x-2)^2+1に代 入する方が計算しやすい。

〰︎︎線のところが分かりません💦 よろしくお願いします。

ro 472 例題 272 不定方程式 〔6〕 2元1次 (互除法の利用) 次の方程式を満たす整数x,yの組をすべて求めよ。 (1) 67 x + 107y=1 思考プロセス 例題 263 << Re Action 1次不定方程式は、 まず1組の解を見つけよ 例題 270 係数 67, 107 が大きく, 1組の解を見つけにくい。 Action> 1次不定方程式の1組の解は,互除法を利用して求めよ 段階的に考える 友 不 x,yの係数 \67 107 で互除法 107 = 67 × 1 + 40 67 = 40 ×1 + 27 40 = 27 × 1 + 13 27 = 13 ×2 +1 (2) 67 x + 107y = 3 ｢余り」を残して 移項 107-67 x1 = 40 67-40×1= 27 40-27×1=13 27-13×2=1 最後 ⑩ から始めて 「余り」を次々に代入) A B C B D A 67 × ] + 107 x (2) 与式の右辺は3だが,どうすればよいか? D C = 1 が得られる。 解 (1) 方程式 67x+107y=1･･・･ ① の係数 67 と 107 について 不定方程式を満たす1組 の整数解が簡単に見つか 107 = 67 × 1 +40 より 107-67×1= 40 67 = 40 × 1 + 27 より 67-40 × 1 = 27 40 = 27 × 1 + 13 より 40-27×1=13 27 = 13×2+1 より 27-13×2=1 ⑤ に ④ を代入して なる。 よって, x-8107n (nは整数)とおくと x = 107n+8 これを ⑦ に代入して y=-67-5 27-13×2=1 40-27 × 1 = 13 代入して整理 67-40 × 1 = 27 代入して整理 107-67 × 1 = 40 代入して整理 ③3③ ...(4) ... 27- (40-27×1)×2=1 (27+27×2=40×2=1 27×3+40×(-2)=1 ③ を代入して (67-40×1) ×3+40 × (−2)=1 67 × 3 -40 × 3 +40× (−2)=1 67x3+40×(-5)=1 ② を代入して 67 × 3 + (107-67×1) × (−5)=1 67 × 3 + 67 × 5+107× (−5)=1 67X8+107X(-5)=6 ⑥ より, x=8, y = -5′は方程式 ① の整数解の1つで ある｡ ① - ⑥ より 67(x-8)+107(y+5) = 0 67(x-8)=-107 (y+ 5 ) 67 107 は互いに素であるから, x8は107の倍数と らないときは,ユークリッ ドの互除法の手順を利用 する。 ④ を 1340-27×1 と 考えて ⑤ に代入し 27 と 40 について整理する。 ③を2767-40 ×1 と 考えて代入し, 6740に ついて整理する。 V 001 ②を40=107-67 × 1 と考えて代入し, 67 と 107 について整理する。 方程式 ①の1組の解が見 つかったから、以下は例 題270の方法と同じであ

どうして囲んであるところがそうなるのか教えてください(語彙力皆無ですいません) あと(1)(2)ともにどうしてa’b’(互いに素な自然数)とおくのか教えてください よろしくお願いします。

M 問題 261 最大公約数 最小公倍数からの2数の決定 思考プロセス 次の条件を満たすような2つの自然数の組をすべて求めよ。 (1) 和が 117, 最大公約数が 13 (2) 積が 864, 最小公倍数が 144 候補を絞り込む 2数a,b の値を,和,積, 最大公約数 (g), 最小公倍数 (1) の条件から求める。) 共 ① a=dg, b=b'ga' と'は互いに素な自然数)... (*)とおき 条件式, a'b'g= l, ab = gl から, d' と'の関係式をつくる。 ② d′,6′ が互いに素な自然数であることから,d', '′ の組を絞り込む。因 Action>> a, ★★☆☆ の最大公約数が gならば、a=dg, b=b'g(d′と 6′ は互いに素)とおけ 解 (1) 2つの自然数をa, b (a ≦b) とおく。 aとbの最大公約数が13であるから a=13α′, b=136' (d' と'は互いに素な自然数) a+b = 117 α' + 6′ = 9 ① とおける｡ このとき, a≦b より d'b' また,2数の和が117 であるから よって 13α′+136′= 117 より ① を満たす互いに素な自然数の組(d'′,6′) は (1, 8), (2, 7), (4, 5) 3と6は互いに素ではな よって、求める2つの自然数の組(a,b) はいから, d' と'の組では ない。 (13,104), (26,91),(52,65) (2)2つの自然数をa, b (a ≦b), 最大公約数をg とおく。 2数の積が864 であるから ab = 864 1 最小公倍数が 144 であるから 144g = ab ① ② より, 144g864 であるから g = 6 よって, a=6a', b = 66′(d' と'は互いに素な自然数) a ≤ b' とおける。このとき, α≦b より ①より, 6α' × 66′ = 864 であるから d'b' = 24 ... ③ ③ を満たす互いに素な自然数の組 (d'′,6′) は (1, 24), (3, 8) 24 よって 求める2つの自然数の組(α, b) は (6,144), (18,48) ... a = b ならば aとbの最 大公約数はαであるから, a=b=13 となり,和が 117 であることに反する。 よって, a < b とおいて もよい｡ MAXROO 2数αとの最大公約数 をg, 最小公倍数をLとす ると glab 2124 6は互いに 素ではないから, d' と' の組ではない。 (1) 思考プロセス

なぜx²は整理しないのですか？？

思考のプロセス « Re Action 2文字以上の式の因数分解 | 既知の問題に帰着 どちらの ≪ Re Action 2次式の因数分解は、「たす (1)~(3) x･･･ 2次, y….. 2次 解(1) v2 +5xy +5x+6y2 + 11y + 4 例題 11 x2-(5y +5)x + (6y2 + 11y + 4) 1¹ _ x -+ (5y + 5) x + (2y + 1) (3y + 4) 2+67-11 ={x+(2y+1)}{x+(3y+4)} > >= (x+2y+1)(x+3y+4) # (2) 2x² +-6²-1v-1+9 1 X

(2)を教えてください。 よろしくお願いします🙇‍♀️

6 例題 35 2次方程式の整数解 次の2次方程式が異なる2つの整数解をもつように,定数aの値を定めよ。 (1) x-ax + α²-2a=0 大野 (2)x-ax-a+3=0_ 思考のプロセス (1)候補を絞り込む 条件をゆるくして考える。 異なる2つの整数解 少なくとも異なる2つの実数解 条件をゆるくして考えたから,解が実際に整数になるか確かめる。 (2) (1) のように, D > 0 からaの範囲が絞り込めない。 未知のものを文字でおく 整数解をα, β とおく 消去 (1) 2次方程式の判別式をDとすると D = (-a)² - 4(a² −2a) = −3a²+8a 方程式が異なる2つの実数解をもつから 8 (8 よって、30(a-1/3) <0より 0<a</1/3 ① 方程式 解と係数の関係 Ja+β=a laβ=-a+3 Action>> 2次方程式の整数解は、判別式, 解と係数の関係を使え a+B= a, β式 D>0 ここで,この方程式の2つの整数解を α, β とすると,解と 係数の関係により, α+β=α であるから, α も整数である。 ゆえに、①より a=1,2 (ア) α=1のとき, 方程式は 1±√5 2 2? aß = -a+3 αを消去して aß+a+b=3 よって (a+1)(3+1)=4 α,βは整数より,α+ 1, β+1 も整数であり, S α+1 <β+1 であるから x-x-1=00+税 (2) 0=(S-1)(C となり,整数解をもたな 新 )+(場合である。) 33+0+0n (判別式 D>0より) αの範囲を絞り込む (a+1, B+1)=(-4, -1), (1, 4) E よって (a, ß) = (-5, -2), (0, 3)-D したがって 求めるαの値は a = -7, 3 = 0 JERS これを解くとx= いから、不適。 (イ) a=2のとき, 方程式は x2-2x = 0a + n① よって,x = 0, 2 となり,異なる2つの整数解をもつ。す (ア), (イ) より 求めるαの値は a=2 (2) 2次方程式の2つの整数解をα,β (a <β)とすると, 解と係数の関係により 35 次の2次方程式が異なる2つの整数解をもつように (1) x² (a+3)x+α²-1 = 0 &大感 整数解は実数解の特別な 2次方程式 ax2+bx+c=0の2つ の解をα, β とすると |a+B==b₁ [ C aß = = 解の公式による。 実数解をもつ条件より D=(-a)² − 4(−a+3) >0 a<- 6,2<a であるが,これを満たす整 数αは無数にあるため, aの値は定まらない。 12-0 a = a + B