OOOO0
重要 例題266 面積に関する極限
とする。Qを通りy軸に平行な直線, y軸,Cおよびしで囲まれた図形の面穂。
T(t) とする。
T(t)
(2) lim
ー1+0 S(t)
を求めよ。
(類東京電機大)
(1) S(t), T(t) をtで表せ。
基本 163,256
指針>まず,グラフをかいて、積分区間やCと!の位置関係を確認する。t>1に注意。
(1) A(0, 1) である。また, Lの方程式は y-e'=e'(x-t)一 (e")'=e*
この方程式において, y=0とすれば, Qのx座標がわかる。
を求める。そして, 極限値を求める際は lim
e-1-1(p.257参照) を
T(t)
(2) まず。
S(t)
利用する。
解答
(1) 点Aの座標は (0, 1)
y=e* よりy=eであるから, 接線の方程式は
ソーe'=e'(x-t) すなわち y=e'x+(1-1)e"
のにおいて,y=0 とすると
S(t)
の
0={x+(1-t)}e
0
Q
よって
x=t-1
ゆえに,点Qの座標は
(t-1, 0)
T(t)
t-1>0
S(O--1)-1-
t-1
したがって
また T(t)= Ce"-le'x+(1-t)e"}]dx
4積分区間において Cは常
により上にある。
ゾャー
1-1
x+(t-1)e'x
T(t)
2
S(t)
Fe'(f-1)+
t-1
ここで,t-1=sとおくと, t→1+0のとき s→ +0
et-l-1
lim
→1+0 t-1
e-1-1
1 よって
= lim
lim1-1
e-
8→+0
エ→0
T(t)
lim
=0+2-4-2
tー1+0 S(t)
ゆえに
4lime'(t-1)=e-0=0
→1
