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重要 例題161 図形への応用 (1)
AABC において, 辺 BC, CA, ABの長さをそれぞれ a, b, cとする。
252
LA
- であるとき, a+6+cの最大値を求めよ。
が半径1の円に内接し, ZA=
本152
a+b+ce
指針>条件は LA= だけで, 辺に関する条件が与えられていない。したがって,
角で表し,角に関する最大値の問題に帰着させる。
→AABCは半径1の円に内接しているから, 正弦定理が利用できる。
なお,三角形の問題では, (内角の和)=T)の条件が大きな意味をもつ。まず,これを書き
出して,扱う角を減らしていくとよい。
解答
A
ZA=A, ZB=B, ZC=Cとする。
3
A+B+C=πとA=から
4Cが消去できた形になる。
よって,以後はBのみを
C=Tー(A+B)=
2
πーB
2
0<B<
る。
また
B
考えればよい。
AABCの外接円の半径は1であるか
ら,正弦定理により
辺
sin角
a
C
=2·1
sinC
正弦定理
sin A
sin B
=2×(外接円の半径)
|a=2sinA, b=2sinB, c=2snC
a+b+c=2(sinA+sinB+sinC)
ゆえに
よって
π
+sinB+sin(-元-B)}
3
(和→積の公式を利用する。
=2
π
-COs| B-
3
π
+2sin-
3
(*) B=-のとき,
-5+2/5co(B-号)
C= (=DA) となるから、
a+6+cが最大となるのは
AABCが正三角形のときで
ある。
3
2
0<B<今元の範囲において, cos(B-
)は B="のとき
3
3
最大となり,求める最大値は
V3+2/3·1=3/3
練習
半径1の円に内接する △ARC において
104
rとする。
