⑴の問題で、t≧-1というのは (x -1)^2が、必ず0以上になるから という考えで正しいでしょうか。

ル県(複2次関数の最小値)二式 演習問題 21 (1) 実数xに対して, t=x°-2xとおく。tのとり得る値の範囲を求めよ。 (2) 関数y=(x°- 2.x)^-2a(x^-2.x) + 2a°+1の最小値 m を求めよ。 難易度 ★★ CHECK 7 CHECK2 CHECK3 2 (ただし, aは実数定数) (工学院大*) ヒント!) (2) のyはxの4次関数だけど, t=ュ-2x とおくとyはtの2次関 数になるんだ。(1) は(2) を解くための導入だよ。 解答&解説 ココがポイント (1)t= (x°_2x+1)-1= (r-1)?-1 頂点(1, -1) の放物線 =r-2x 2で割って2乗 :tのとり得る値の範囲は, tN-1 … (答) (2) y=(r°- 2.x)? -2a(x°-2x) + 2a'+1 00 2 x ここで,t=x°- 2x とおくと,(1) の結果より, 頂点(1,-1) y=?-2at+2a'+1 (t>-1) 横軸がr軸,たて軸が t軸だってかまわないね。 数と式 c次関数 SEOk マ

③だけなぜ ◯に入るのは何通りか。　 というのを求めてるのでしょうか？ ①〜③の考え方のコツを教えて欲しいです…

9個の数字 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4のうち4個を使って4桁の数を Check 例題 200 整数を作る問題2) 作るとき, (1) 全部で何個の整数ができるか. 「2」は4回まで, 「3」 は3回まで, 「4」は2回までという制限があス このような場合は, 丁寧に場合分けをして考える。 考え方 2, 3, 4から重複を許して4回とるのとは違う。 (1) (i) 4個の数がすべて同じ場合({O, O, O, ○} ○に入る数は2のみだから, (i)4個中3個の数が同じ場合 (○, O, O, △} ○に入る数は2か3だから, △に入る数は○以外の2通り 2222 の1通りのみ 解答 1通り ○は2か3. 2通り △は○以外のとちち 全部で4つ か。 選んだ4つの数の並べ方は, 通り a中で Oぜら7 4つの数の順序を える。 (同じものを含む を歩た 3! 4! =16 (通り) したがって, 2×2× 3! ( 4個中同じ数が2個, 2個の場合(O, O, △, A} 0, △に入る数は, 列) 3C2 通り 4! 2!2! 選んだ4つの数の並べ方は, 通り 本 818 ISTS (v 4個中2個の数が同じで, 残りは違う数の場合 したがって, 4! 2!2! 3C2× =18 (通り) O〇に入る数は, {O, ○, △, 口} C」 通り 選んだ4つの数の並べ方は, 4! 21通り C,×=36 (通り) したがって, 4! よって, (i)~(v)より, 2! 1+16+18+36=71 (個) 3の位都

（2）です。なぜここは3で割っているのですか？

338 (2) これらの5個から3個を取り出して円形に並べる方法は何通りある 考え方(2) 異なる3個の円順列と同様に5個から3個選んだ場合も,重複する場合がある。 a, b, c, d, e の文字が書かれた王が1個ずつあるとき,次の問いに答 Check 例題 186 円順列(1) えよ。 (1) これらの玉を円形に並べる方法は何通りあるか. (2) これらの5個から3個を取り出して円形に並べる方法は何通り+. か。 (3) a, bが隣り合うように円形に並べる方法は何通りあるか。 (4) これらの玉にひもを通し, 輪を作る方法は何通りあるか、 (3) a, bを1つの玉とし, 4個の円順列を考える。 (4)ひもを通して輪を作るとき, 右のように円 順列では異なる2通りが, ひっくり返すと 同じものになっている. このような順列を じゅず順列(ネックレス順列)という. 解答(1) 異なる5個の円順列であるから, (5-1)!=4!=4·3·2·1=24 (通り) (2) 異なる5個から3個選んだ円順列であるから, a 5P3_5·4·3 =20(通り) 3 2

青い四角で囲っているところが分かりません💦‬どうして3つの場合を足すのですか？ 回答よろしくお願いします🙏

1 整式の乗法·除法と分数式 37 Check 例題 12 (a+b+c)"の展開2) (x-3x+1)10 を展開したとき, x°の係数を求めよ。 (東京工科大·改) 考え方(a+b+c)" について, a, b, cが,それぞれひとつの文字xの式である。 n! この場合,展開した項 つまり,(x°-3x+1)10 において, (x°)°(-3x)°×1" がx°になるような, p, q, rの組 合せを考えることになる。 b!a!r!ob°c" の α'6°c' の部分のxの次数に注意する 401 00 =101 p,9, rを0以上 10以下の整数で, p+q+r=10 とする。 (x°-3x+1)10 の展開式で,(x°)*(-3x)?×1" の項は, 解答 10! 10! (-3)x20+9 か!g!r!(x)(-3x)°×1"=- となる。 これより,x® の項は, (x)=x°, p!g!r! 1"=1 より, 0S(x)(-3x)?×1" =(-3)°x?0+9 2P+9=x より,2p+q=5 I 2p+q=5 となるか,q, rの組合せを考えて求めればよい。 ここで,か, q, rは0以上10以下の整数なので, 2p+q=5, p+q+r=10 を満たすものは, 、カ=0 のとき, カ=1 のとき,q=3, r=6 カ=2 のとき, の3つの場合である。 よって,求めるx の係数は, 0 00 p20, q20, rN0 q=5, r=5 に注意する。 q=1, r=7 23 のとき, |2か+q=5 より <0 となるから不適 10! 10! 10! 211!7!×(-3) 0!5!5! !=1 =-61236-22680-1080 =-84996 e-001 Focus 条件を満たすp, 9, rのすべての組合せを考え それぞれの係数の和を求める 頭 10」

なんでx=0、x=1に場合分けしないといけないんですか？

考え方 一直線上にない3点を通る平面はただ1つ決まるから, 直線上に適当な2点を定め、 704第10章 空間のベクトル Check 例題 397 平面の方程式の決定 y-1__a+1 を含み,点A(1,-2, 3) を通る平面。 直線:x-1= 2 2 の方程式を求めよ。 考え方 一直線上にない3点を通る平面はただ1つ決まるから,恵線。上に適当なクよ。 ww その2点と点Aを通る平面の方程式を求める。 解答 x=1, x=0 として, 直線l上の2点B(1, 1, -1), C(0, -1, 1) を定める。 イで一直線上にない3点A, B, Cを通る平面上の任意の点 をP(x, y, 2)とする。 AF=sAB+tAC (s, tは実数)が成り立ち, AP=(x-1, y+2, z-3), AB= (0, 3, -4), AC=(-1, 1, -2) であるから, (x-1, y+2, z-3)=s(0, 3, -4)+t(-1, 1, -2) よって、 x-1=-t, y+2=3s+t, z-3=-4s-2t これより,s, tを消去すると, 2x-4y-3z=1 インお血 さtiは x=1, 2などでもよ。 ec HO ( ILAC A SAB a 方 の はオ (山

ここは自然数と書かないとダメですか？ ダメな場合は理由教えて欲しいです。

考え方 実数は"有理数(整数と分数)”と“無理数”で構成されているので,無理数であることを (2)/3 が無理数であることを用いて,4-V3 は無理数であることを 2つの自然数mとnが1以外に公約数をもたないとき, mとnは互いに素という。 Check 背理法(1) 160 例題 (お茶の水女子大 次の問いに答えよ。 (1)/3 は無理数であることを証明せよ。 証明せよ。 考え方 実数は"有理数(整数と分数)”と“無理数”で構成されているので 否定すると有理数になる。 (p.419 参照) 結論の否定を仮定 「無理数でない」は 「有理数である」 解答(1)/3 が有理数であると仮定すると, V3=4(かとqは互いに素な自然数) p とおける。両辺を2乗して分母を払うと, +3が=q° ① 9は既約分類 p …D +5 3がは3の倍数だから, q°も 3の倍数である。 したがって, qも3の倍数となり,q=3r(rは自然 数)とおける。 のに代入して、 これから,が=3r? 3rは3の倍数だから, がは3の倍数 つまり, pも3の倍数となる。 したがって, p, qがともに3の倍数となり,かとq が互いに素な自然数であることに矛盾する. よって,/3 は無理数である。 い) 「が3の倍数なら。 qも3の倍数」 (例題159参照) 3が=9r? ともに3の倍数の場 本3が公約数となる。 w

⑴なのですが、 「実数値をとる」とあります。 判別式を使わなくていいんでしょうか？ 理由を教えてください🙇‍♀️

(2)放物線 y=x-2(t+1)x+t+1 がx軸と異なる2点で交わるとき tが実数値をとって変化するとき, 次の点Pはどのような図形を描くか 例題 108 媒介変数と軌跡 の で挟点 が実数値をとって変化するとき, 次の息Pはどのような図形を描く。 点Pの座標を(x, y) とおいて, x, yをそれぞれむで表し, tを消去することで、x, Check (1) P(t+2, 2t°-3) 類 2放物線 y=ー2(t+1)x+t+1 がx軸と異なる2点で交わると。 の頂点P 考え方 (1), (2)で用いられている変数tを媒介変数(パラメータ)という。 の満たす方程式を導く、 P(x, y)とおく。 「x=t+2 ly=2t°-3 のより、 これを②に代入して, y=2(x-2)?-3 よって,求める軌跡は, 放物線 y=2(x-2)?-3 (2) y=x°-2(t+1)x+t+1 ={x-(t+1)}}?-(t+1)?+t+1 ={x-(t+1)}?-tーt より、 頂点Pの座標は, (t+1, -ピーt) 解答 (x, )=(t+2, 2f-3) 0, 2からtを消去す t=x-2 2 る。 tがすべての実数値を とるとき,xもすべて の実数値をとる。 放物線 y=2x°-8x+5 でもよい。 0 x )8Aを 平方完成する。 一 三 したがって, …の Ly=ーt-t 2 y=ー(x-1)?-(x-1)=-x+x x=t+1 0, 2より, ここで,放物線はx軸と異なる2点で交わるので, y=ー-t<0 t(t+1)>0 より, のから, x-1<-1, 0<x-1 より, のより,t=x-1 これを2に代入 x軸と異なる2点で交 わるという条件から, tの範囲に制限がっく. (頂点のy座標)<0 tく-1, 0<t y4 x<0, 1<x よって,求める軌跡は, 放物線 y=-x°+x の xく0, 1<x の部分 4 |01 2 Focus x=(tの式) y=(tの式) tを消去 , yの方程式(x, y の範囲に注意) 「練習 108)(1) P(2t-2, 3°+1) (2) 円 x+y°-2tx+4ty+6"-1=0 の中心P O 6.226[)

（1）と（2）は先に命題の真偽を求めてるのに対して なぜ（３）は先に否定の真偽から求めてるのでしょうか？

(1)すべての三角形の内角の和は 180°である (2) ある整数の組(a, b) があって, α'+°=89 となる 「すべて」と「ある」の否定 解答(1) 否定:「ある三角形の内角の和は 180°でない」 269 例題 157 *の命題の否定を述べて,もとの命題とその否定の真偽を調べよ。 すべての三角形の内角の和は180° である ある整数の組 (a, b) があって, α'+8=89 となる すべての2つの無理数について,その積は無理数である Check 考え方」 「すべて」と「ある」を含む命題の否定では,「すべて」と「ある」を入れ換えて,その 結論を否定すればよい。 命題とその否定は,一方が真ならば他方は偽である。 条S すべての三角形の内角の和は180°であるから,も との命題は真である。 もとの命題が真なので,否定は偽である。 (2) 否定:「すべての整数の組 (a, b) について, a'+°+89 である」 sod. a=5, b=8 のとき α°+6°=89 となるから,もと の命題は真である。 もとの命題が真なので,否定は偽である。 (3) 否定:「ある2つの無理数について,その積は有理 そのため、 2つの無理数をV2,V8 とすると,その積は V2×8 =4 となり,有理数となるので,否定は真 である。 否定が真なので,もとの命題は偽である。 第4章 a=5, b=8 が反例と なる。 数である」 無理数の否定は有理数 である。 V2×/2 =2 なども 考えられる。 2つの無理数(2, V8 が反例となる。 Focus 「すべてのxについてかである」の否定は, 「あるxについてかとなる」 「あるrについてかである」の否定は, 「すべてのxについてかとなる」 命題について,真であればその否定は偽 偽であればその否定は真 すべて 01ある。

赤い矢印の所なんですけど、t':s'じゃなくs':t'じゃダメですか？ 教えてくれると有難いです🙇‍♂️🙇‍♂️

642 第9章 平面上のベクトル Check 例題 366 条件を満たす点の動く範囲(1) ………ャャーーー 643 S, 3 ベクトルと図形 件を満たすとき,点Pの動く範囲を求めよ。 (1) s+t=1, s20, t20 (3) s+tS1, s20, t20 (2) 3s+t=2 (3) s+t=k とおくと, k年0 のとき, +=1 2 したがって、 OP=sOA+ 1OB-kOA+kOB 直交座標と比較して みよう。 x+yS1, |x20, y20 考え方 (1) s=1-t としてsを消去した式で考える、 (2) 条件式をS'+t=1 の形に変形し、 (1)と同様に考える。 ふに範囲がないことに注意する. ここで, s'=, ビーとすると, ②より, ダ+ビー1 また,s20, t0より, s'20, じ20 直線OA, OB 上にそれぞれ, OD=kOA, OEーKOB となる点D, Eをとると、 OP=s'OD+tOE (s'+ビ=1) 第9章 OF-40バ+OB (20, 20) モ s20, t20 より, B k20 は、線分 DE を表す。 よって、0SkA1より, 点P は、右の図の△0ABの周上お よび内部を動く. よって、たキ0 のとき。 (1) s+t=1, s20. t20 より,. S=1-t, 0St<1 したがって、 OF=sOA+tOB =(1-)0A+tOB (0<ts1)° よって,点Pは, 線分 AB上を動く. B E 解答 直交岸様とは。 みよう。 |xty=1, x20, y2 20, 20 A k=0 のとき、,点0 0 D S =1 ……3 3 (4) 3s-2t=6より, 2 直交座標と比較して 0 A みよう。 3xー2y=6, x20, y20 よって, OF=sOA+10B=$-20A-(-30B) ここで, s'= ビ= とすると, ③より, 0 s-t=1 であり, 0<t<s' となる。 0 また,直線 OA, OB 上にそれぞれ。 OA'=20A, OB=-30B となる点A', B'をとると、 OF=s'OA-t'OB 0 /2 「TA ZA (2) 3s+t=2 より, +3=1 …① く直交座標と比較 の これより, OF=sOA+tOB みよう。 |3x+y=2 S-ビ=1>0 かつ 20 より、 0S<s s'OA'-r'OB ーゼ+s' したがって、点Pは,線分 A'B'を七: s' に外分す る点であり,0いせ<s' より,その位置はB'と反対側 にある。 よって,点Pは,点A'を端点とし、点B' と逆方向に 伸びた半直線上を動く。 3 t ここで,S'=s, ビ=;とすると, のより, s'+t=1 また,直線 OA, OB上にそれぞれ, 2 -2-1、 A' ピ=0 のとき s'=1 より、OF=OA よって、端点A'を 0 0 A OA'=20A, OB-20E となる点A, B'をとると, OF=sOA'+rOB' (s'+ゼ=1) よって,点Pは, 直線 A'B'上を動く。 含む。 Focus O OP=( ○+A=1 を作れ S, せに制限がも ため線分ではない 急で 0 (0 線になる。 練習 例題366 で, s,otが次の条件を満たすとき, 点Pの動く範囲を求めよ。 366 1 (2) s+t=;, s20, t20 (1) 0Ss<1, 0<t<1 |2 (4) s-3t=2, s20, t20 →p.649[0 (3) 2s+3t=2 AOAB,=sOA+tOB (s, tは実数)する、.

この問題の解説を読んでもよく分かりません💦 なぜ△ADF=5×5/4×3△ABCになるのですか？

538 第9章 図力 Check 例 題 288 2つの三角形の面積比(1) 右の図の△ABCにおいて, AD:DB=4:1, BE: EC=3:2, CF:FA=2:3 のとき,△ABC と △DEF の面積比を求めよ、 B 3 考え方 △ABC と △ADF は ZAが共通であるから, ·AD·AF·sinA: *AB·AC·sin A 2 AADF: △ABC= 交を ことば 解答 より, △ADF: △ABC=AD·AF:AB·AC ADEF=△ABC-(△ADF+△BED+△CFE) …①. また,△ADF:△ABC=AD·AF:AB·AC より, AABCの面積から ADEF のまわり 4.3 -△ABC= 5·5 -△ABC 25 12 三角形の面積を △ADF= ニ- 3·1 -△ABC= 5·5 3 -△ABC 25 同様に, △BED= 2.2 △ABC= 5-5 4 AABC ACFE= 25 よって, ①は, 3 4 ADEF-ムABC-( + ABC 12 )AABC 25 25 25 6 -△ABC 25 ADEF を MS ニー で表す。 したがって, 6 △ABC=25:6 25 △ABC:ADEF=△ABC: Ocus △ABC とADEF において, ZA=ZD ならば, AABC:ADEF=AB·AC: DE·DF