（m−5）（m−1）≧0 はどのように計算したらこの答えになりますか？

124(m-3)とれ1に0 D=(m-3)た4.1に1 ; m-6m+9-4 = m-bomt 5. D20のとき実が解とものので、 m'-6mt5z0 (m-5)(m-1)ZO msl 5年m

（1）の1行目から、2行目への変換の仕方が分かりません

54.html プ 教列{a«},{ba}の公差を、それぞれc.dとする。 (0) As(m+) -asm =[a,+f5(n+l)-1}c]-fa,+(5m-l)c} =D5c すべての自然教nについて、 Astmel) -Qasm が5cで -定であるから、教列 fasa}は等差教列である。 (2) (2am-3bm) -(2a,-3ba) =2(aa - an)-3(bm - bm) =2c-3d すいての自然教nについて(2ame-3barノ-(2an-3bm が 2c-3dで一定であるから.教列{2an-3bajは 等差教列である。 6) (aume) +brcmo))-(asn-bom) =Azm+2+ bsa+3 -azn-bim =(a2m+ュ-Qzme) +(asmel-Qam)+(bm-s-bsmez) +(bamez-bimi)t(bame)-bim) =c+c+d+d+d 2c+ 3d NEC

至急！2番の丸をしているところがなぜこうなるのかいまいちわかりません！教えてください！

:あるこ o)すべての自然数nについて, 2"*!+3?n-1 は7の倍数である ことを証明せよ、 はさ 方(1) 9=4 (mod5) であるから、合同式の性質 α"=Db" (mod m) より, 9=4",(mod5) がいえる。 (2) 9=2 (mod7) に着目し,合同式の性質を利用できるように式を変形する。 なる で 文100 9=4(mod5) であり,nは自然数であるから、 9*=4"(mod5) ①000090+10000 0 がいえる。 のより, お 注100000010000I 001.Qい 9"+4-4"手47+4·4"(mod5) ここで、4+4·4"=(1+4)·4-5-4")より、 であ gn+4·4"=5·4年0)(mod5) よって,すべての自然数nについて,9"+4"+! は5 の倍数である。 を満だす L bom,0=1000000」 10000 (2) 27+1+32カ11-P とおく. 2)100 27+1=22.27-1-4/2 固数と また, )n-1 |3(n-1)=(3)*-1 32n-1-3·3?z-2=3-32(n-1)-3}9"-1 P=4·2"-1+39"-1 0 = a =97-1 a=b (modm) a"=b" (modm) bpMP. より, ここで,9=2 (mod7)より, 97-1=2"-1 (mod7) したがって,①より, P=4·2"-1+3-2" ! (mod7) さらに, T 4-27-1+3-27-1ー(4+3)·2"-1=7.2"-1 3855 P=0(mod7) 以上から,すべベての自然数nについて, 2"*"+3*"ー】+= け7の倍数である. より, J にち I Du前昌抽注を使っても証

これってつまり代入してるんですよね？ ＝じゃなくてもだいにゅうしていいんでしょうか？

96 演習 例題123 合同式を利用した証明(1) a, bは3で割り切れない整数とする。このとき, a'+a°b°+b° は3で割り切れぞ OO000 ケ S 000 ,00) 冷: 1倉敷芸料大 ことを証明せよ。 大 指針> 基本例題117, 118 で似た問題を扱ったが, ここでは 合同式を利用して 証明してみよう aが3で割り切れない整数とは, aを3で割った余りは1または2ということである(b日 p.492 基本事項) ついても同じ)。 このことから,問題を合同式で表すと,次のようになる。 「a=1(mod 3)またはa=2(mod 3), 6=1 (mod 3) または b=2 (mod 3) のとき a*+a°b°+66=0 (mod 3) であることを証明せよ。」 ふるっなお, 証明では, 解答のように表を用いると簡明である。 小さの質 決まった数の割り算や 倍数に関係する問題 合同式を利用すると簡明 boR CHART 解答 a, bは3で割り切れない整数であるから,3を法として [1] a=1, b==1 [3] a=2, b==1 [1]~[4] の各場合について, α*+a'6°+6* を計算すると, 次の 表のようになる。 [2] a=1, b=2 0 式が傾雑になるので、 (mod 3) は省略した。 ただし,下線のように是 に断っておくこと。 e bam) = (bom =or 。(2=16=1 (mod 3) [4] a=2, b==2 関 a 1=1 2=1 2=1 1=1 12.1°=1| 1°.22=1|2·1°=1|2.2°=1 =| 2=4=1(mod 3) 1=1 a'b? 64 2=1 1*=1 24=1 a*+a°6°+6 3=0 3=0 3=0 3=0 A=B(mod m), あ C=D (mod m) ならば よって、いずれの場合も S 000 SIbom) e a+a°6°+6=0 (mod 3) したがって,a'+a’b°+6 は3で割り切れる。 %3D% 、630009 A+C=B+D(mod m (SEbom) ト= 000円

この問題、xが出た時点（②）の時点でnに代入してはどうしてダメなんですか？

510 例題129 1次不定方程式の応用問題 O0000 基本 |3で割ると2余り, 5で割ると3余り, 7 で割ると4余るような自然数 nで最小の ものを求めよ。 (2) 37 基本127,128 指針> 3で割ると2余る自然数は 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23. 5で割ると3余る自然数は 3, 8,13, 18, 23, が共通の数。 8が最小である。 よって,「3で割ると2余り, 5で割ると3余る自然数」を小さい順に書き上げると A 8, 23, 38, 53, 68, 43と5の最小公倍数15ずつ大きくなる。 また,7で割ると4余る自然数は B 4, 11, 18, 25, 32, 39,46, 53. の, B から,求める最小の自然数は 53 であることがわかる。 このように,書き上げによって考える方法もあるが,条件を満たす数が簡単に見つから。 い(相当多くの数の書き上げが必要な)場合は非効率的である。 そこで,問題の条件を 1次不定方程式に帰着させ, その解を求める方針で解いてみよう 解答 nはx, y, zを整数として,次のように表される。 n=3x+2, n=5y+3, n=7z+4 注意 3x+2=5y+3 36年5 かつ 5y+3=7z+4 の くち小 として解いてもよいが、係 3x+2=5y+3 から 3x-5y=1 x=2, y=1 は, ①の整数解の1つであるから 3(x-2)-5(y-1)=0 すなわち 3(x-2)=5(yー1)-x 3と5は互いに素であるから,kを整数として,x-2=5k と表 される。よって のを3x+2=7z+4に代入して 3(5k+2) +2=7z+4 るを「43x-7z=2から い。 x=5k+2(k は整数) 2 40 bom) ト このとき y=3k+1 S+A-%3 (ト+)-0ト- 3(x-3)-7(z-1)=0 ゆえに,1を整数として ゆえに 72-15k=4 3 ス=-8, k=-4は, ③ の整数解の1つであるからー=¢ A+ 907(z+8)-15(k+4)=0 9すなわち 7(z+8)=D15(k+4) x=71+3 これと x=5k+2を等置し 7と15 は互いに素であるから,1を整数として,z+8=15Z と て 5k+2=7/+3 よって 5k-71=1 これより,k,1が求められ るが,方程式を解く手間が Ex@- (TE bom) トー= これをn=7z+4に代入してn=7(15/-8)+4=105/-52) 8 53 bom) 8S- 表される。よって。 2=15/-8(1は整数) 最小となる自然数nは,1=1を代入して 1つ増える。 ーンシ 文不宝武器

modを習っていなくて、全く分かりません。、 modについての説明から解き方まで、教えてください🙇🏻‍♀️

Chec 合同式の利用(1) 例 題 248 aは7で割ると3余る整数,Bは7で割ると4余る整数である.このと き,次の数を7で割ったときの余りを合同式を利用して求めよ。 (1) α+2β 日然 (2) α のた同合 CE** ° (3) B50 考え方 p.442例題 245 のように, m, n を整数として, α=7m+3, B=7n+4 とおき,代入し ても求められるが,(3)の B はそのままでは計算が大変である。そこで, 合同式の性質 の利用を考える。 7を法とすると, (1) 28=2×4=8=1(mod7)より, α+28=3+1=4 (mod7) よって,求める余りは, (2) α=3°(mod7) ここで, よって, α°=6 (mod7)より, 求める余りは, (3) B50=490(mod7) 00 ) の0 解答 α=3(mod7), B=4 (mod7) a=b (mod m), c=d (mod m)のとき, a+c=b+d (modm) を利用する。 a=b (modm) のとき, a"=b" (modm) (SIbom) 0000 4 SIbom) )g (STbom (STbom) 3°=27=6(mod7) bom) 6 ここで、 ,あ。 を利用する。 Ibom) 450=(22)50=2100 (2°)33 × 2 =83×2 100=3×33+1 ーリー 000 -000 ぶを目 8=1(mod7) であるから, 833×2=133×2=2 (mod7) したがって,350=450=2 (mod7) よって、求める余りは, 83=13-1 (mod7) 余る 0 (01 bom e= (S) 2

(イ)で解答の　特に　の部分から2枚目のようにしていけないのはなぜですか？

習 合同式を利用して, 次のものを求めよ。 122(1)(ア) 703 を5で割った余り (2) 83'234 の一の位の数 (イ) 3000000 を14 で割った余り D7 7=2(mod 5) であり 2°=8=3(mod 5), 2°=4(mod 5), 2=16=1(mod5) 203=(2) 0.2°=150.3=3(mod5) そ7と2は5を法として 合同であることに着目し, |2"に関する余りを調べ る。7?, 7° を5で割った 余りを調べてもよいが 一般に22, 2°の方がらく。 そ3000 を14で割った余 りは4であるから, 3000 と4は14を法として合 同。したがって, 4" に関 する余りを調べる。 4章 練習 ゆえに よって 7203=2203=3(mod 5) したがって,求める余りは ) 3000=4(mod 14) であり 4=64=8(mod14), 3 4°=16=2(mod14), 4=(4)°=2°=4 (mod 14) 4* (kは自然数)の余りは, 4, 2, 8を周期として繰り返され, 特に 43=8(mod 14) 43000=4°-1000=8 (mod14) 30003000=43000=8 (mod14) bom) ゆえに よって したがって,求める余りは 8 の そ83=10-8+3 02 0(mod E[整数の性質」

この問題のsinA、図形で考えると3/5ですが、sin30°で考えると1/2になるのですが、なぜ違うんですか？

数学 グ 計 [2] AABC において, BC=ニの CA=の5 ABテの ジクCAB三 オリロンABOM2) BCA=C とする。 (1) o=3, 5=ニ4, c=5 である直角三角形 ABC! において Sin4ー にま tanぢ= 還%沖 cosC= ァ である。 還叶2 トA IMSCA0 200も 00 907 0 ずつ選べ。ただし, 同じものを繰り返し選んでもよい。 ⑳⑩ 0 ⑪⑩ 1 ⑳ @⑧ @ # (人 5 忌|m ょloo 9 3 @ 7ぉ

ウが2になるのって判別式の関係ですか？

関数7の?圭な寺cについて, ニア(⑦①の グラフをコンピュータのグラフ表示ソフトを用いて 表示させる。 このソフトでは, 4, 6 cの値を入力すると, その 値に応じたグラフが表示される。また, 入力した値 に応じて, (<) の最大値と最小値が表示される。 このとき, 次の問いに答えよ。 ⑪⑩ の あ cをある値に定めたところ, 最小値にはー5 と表示された。ただし, Z, 2の少 も一方は 0 でないものとする。 (0) 関数7G)の定義城は実数全体である。このとき, <は条件| ア |を満たし。グラフは しイ ] が衣きれる。 |ア ] [| イ ]に当てはまるものを, 次の各角答衝のう ちから 一つずつ選べ。 しテ ]oのWW ⑳⑩ z>0 0 。so の2 "190 coG Ne 。 0 上に上である放物線 、 @ がbom線 7 > 件| ] 馬| ] なくと

数Aの命題について質問です。(2)なのですが、｢かつ｣と書いているので、共通部分と言う意味なのでしょうか？ そうなりますと、共通部分は∅とはなりますよね。 教えてください。

107 * るは実数とする。次の[の中は,「必要条件であるが十分条件でほな い」,「十分条件であるが必要条件ではない」,「必要十分条件である」。 必要条 件でも十分条件でもない」のうち. それぞれどれが適するか。 1) (メーの(ゆーる)=0 は ヶニテッテ々 であるための ト 上馬入肥0 かつ ッく0」は, *ッく0 であるための p (3) ニッテ0 は,「zy=0 かつ ァ十ッー0」であるための (4) ZAく90 は へABC が鋭角三角形であるための b (5) へABQMの8 辺IBOMOOWIIOB の長さを, それぞれ6, 6 (ゥ一の(の?寺ーCの)三OMISWNABO衣回個計 角形・ ネ え ※