重要例題159 2次同次式の最大·最小
OG
主数x. yがx°+y=1を満たすとき,3x°+2xy+y?の最大値は[
は 口である。
地対>1文字を消去,実数解条件を利用する方針ではうまくいかない。そこで, 条件
x?+y?=1 は、原点を中心とする半径1の円を表すことに着目する。 多同
→点(x, y) は単位円上にあるから,x=cos 0, y=sin0 とおける(検討
これを3x°+2xy+y° に代入すると, sin0, cos 0 の2次の同次式 となる。よ
前ページの基本例題 158 と同様に, O 20に直して合成 の方針で進める
大景の爆関き
解答
x+y?=1 であるから, x=cos@, y=sin0 (0<0<2ェ)とおく
ことができる。
P=3x°+2xy+y?とすると
P=3cos?9+2eesOsin0+ sin 0
条件式が x?-
のときの最大
歌もnia) 天ちは は,左のよう
較的らくに解
もあるので,
1+cos 20
2 t sin 20+
1-cos 20
2002
よい。
3·
Fsin 20+cos 20+2=2sin(20+)+2
0-1 nie+0an
イ三角関数の合
金<トー
π
0S0<2元のとき,
<20+-<4元+
であるから
4
4
-1Ssin(20+
[合部ささ車の +ni)
ー/Z+25Zsin(20+ ) +25,2+2
20mie)
よって, Pの最大値は ア2+/2, 最小値は12-V2 である。
T
参考 Pが最大となるのは, sin(20+
=1の場合であり,このとき 20+ー=
4
4
9
-πである。これから,半角の公式と0+πの公式を用いて
8
8
の左公食
すなわち 0=, て
与えるx, yの値が求められる(下の練習 159参照)。 amのム
検討 円の媒介変数表示
一般に,原点を中心とする半径rの円x+y°=r°上の点をP(x, y) と
し、動径 OP の表す角を0とすると
aie rs
x=rcos0,
ソ=rsin0
(合の
(o+)aia-0
これを円の 媒介変数表示 という(数学IⅢの内容)。
記 - 0-+
練習
平面上の占 P(r
1)が単位円周上を動くとき,15x?+10x
