この問題で不等式を一般化して考えることのメリットは、数学的帰納法が使えるようになることですか？

戦略例題 12 一般化による数学的帰納法の利用目 a ≧ 1,6≧1, c 1,c,d のとき,次の不等式を証明せよ。然自分で 8(abcd + 1) ≧ (1 + α)(1+b)(1+c)(1+d) 思考プロセス まず,戦略例題11のように, 文字を減らそうと考えるが, 4文字のときの8は, 2×4とみるか? 24-1 とみるか? noin 文字を減らす 1文字の場合··· 1 (a+1) ≧ 1+α と考えられる。 L2×1ではなく, 21-1 = 2° = 1 とみる。 2文字の場合… 2 (ab+1) ≧ (1+α) (1+b) の証明を考えると L22-12'=2 (左辺) (右辺)=ab-a-6+1 微分法と世界 文 (α-1)(6-1)≧00I=a+g 4文字の場合 (左辺)-(右辺)=(-1) (6-1) (c-1) (d-1) となりそう? ところが,実際に ① を因数分解するのは大変。 しかも、 実際にはこのようには変形できない。 (α=1を①,② に代入すると,②=0 だが 1 ≠0となることからも分かる) 〔本解〕 一般化して考える。 文字の場合 2-1 (a1a2asan+1) ≧ (1+a) (1+a2) (1+αs) ... (1+α) を, 数学的帰納法を用いて示す。 Action » 具体数の場合で示しにくいときは,一般化することを考えよ (別解) 式を分ける (4文字) = (2文字) + (2文字)とみて 8{(ab)(cd)+1}≧{(1+α)(1+6)}{(1+c)(1+d)} を示すことを考える。 7(土)している。 2文字の場合の2(ab+1) ≧ (1+α) (1+6)の利用を考える。 解 自然数nに対して, a, ≧1 (i = 1, 2, 3, ...,n) のとき 2-1 (arazasan+1)≧(1+α) (12) (1+αs)... (1+an) が成り立つことを証明する。 [1] n=1のとき (左辺)= α+1,(右辺)=1+α (*) (左辺)=(右辺)であり,(*)はn=1のとき成り立つ。 [2] n=k のとき,(*) が成り立つと仮定すると 2k-1 (a1a2a3ak+1) ≧ (1+aì)(1+α2) (1+αs)... (1+ak) n=k+1 のとき (左辺) (右辺) = 2k (aayasakak+1 + 1) 不等式を一般化し,数学 的帰納法を利用する。

数列の計算についてです。 なぜk=1~10のシグマを、k=1とk=2~10に分けているのかを教えて欲しいです。

a,a2+azastasDa··· 10 これより An= m(n+1) +mak A k2 R=1 anant = baz 10 1-1 +Σ RE2htl (+1)+1 + (+1)(h+2) E + 10 - + ( ) 3 ht! 4 + = (友+1)(+2) (+2)(+1)= (+1)(+2) ke2 (ht()() () ( CC t 4 "1 + 3 3 12 1211 = k2+1 T2+2

（2）で、画像3枚目のオレンジマーカーのところで、 なぜ（n-2）乗をしてるのかがわかりません。 また、画像2枚目の右側下から7行目の「これらの点は全部で（n-1）個ある」で、なぜ（n-1）個なのかがわかりません。 教えてください。

3 x軸上の動点Pは最初原点Oにある. T君は偏りのないコインを繰り返し投げ, 次の規則に従って点Pを移動さ せ,T君は点を得ていくものとする. ア. 表が出れば点Pをx軸の正の方向に2移動させる. イ. 裏が出れば点Pをx軸の正の方向に1移動させる. ウ.点Pが座標が3の倍数である点に到達する毎にT君は1点を得る. 点Pが点A(3m) に到達したときにT君が最初の1点を得る確率を として 次の問いに答えよ. ただし, n は自然数とする. (1) P1, P2 を求めよ. (2) pm を求めよ. Pn

黄色で線を引いたところが分かりません。 解説お願いします🙇‍♀️

問 16 相加平均・相乗平均(2) b, bz, bs を正の実数とする. α=bi, a2=bz, a3=b3 としたとき a+a2+as_araz2d3 3 となる. したがって atatasana2a3 3 (01+b2+63){(61-62)2+(b2-63)2+(63-61) 2} であり,等号は α=a2=αs のときに限り成立する. この不等式を用いれば,正の実数a,bに対して を得る. 4(a²+ab)≥33(a²b) 底面が半径αの円で高さが6の直円柱を考える. 不等式の等号条件から, 表面積を一定にして体積を最大にしたとき,b である. (慶應義塾大) a 精講 x+y+23-3.xyz に関する等式は 標問1 (3), 標問27 を参照して下さ 解法のプロセス 相加平均・相乗平均の不等式を 利用する 凸 おきかえの工夫 い。 a1,a2, α3 をどのようにおきかえれば,d+ab が現れるか考えましょう。 この不等式が直円柱の 体積の最大値を求めるヒントになっています. a=bi', a2=b23, a3=b33 より <解答 a1+a2+a3_//asazas=1/2(b+b2+b=-3bibzbs) 3 =1/2(b1+b2+ba) (b^2+b2+bf-bıbz-b2bs-baby) =1/2 (b2+b2+ba) (bs-b2)+(bz-bs)2+(bs-bì)2} ≥0 ( b, 62, 6 は正の実数 ) したがって,(1+a2+aazanazasであり,等号は 3 b-b2=b2-bs=b-b1=0 のとき すなわち, a=a2=α3 のときに限り成立する。 この不等式を用いると 20

この問題の答えの赤線部分、a=5のとき、 なぜ(b，G)=(5×7，7)，(5×7^2，1)はダメなんですか？a<bであるから(5，7^2)がだめなのは納得出来ます。(a=5だから。)教えてください。

正の整数 A,B (A<B)の最大公約数をGとし,a=b=1とする。 B A,Bの最小公倍数が1225 であるとする。このとき テ =1225 が成り立つ。また,正の整数 A,Bの組 (A,B) は全部でトナ 個ある。 テ の解答群 ⑩ ab ① abG ② abg2 ③ d'b'G

線で囲んである所の言っている意味が良く分かりません…どなたか教えてくれませんか…？

同一直 7, 0Q: QB=azbz, OR: RC=α3: bg である。 右の図の四面体OABCにおいて, OP: PA=α: bi, 四面体O-PQR と四面体OABC の体積比を求めよ. 20 △OQR: △OBC=OQ･OR: OB・OC <考え方> 四面体 O-PQR の底面を△OQR, 高さをPから画UBY X2230802 #O TA 01 82-203 A SOT ***#40 PAT D =azas: (a2+b2)(a3+b3) .....① 089A A から面 OBCに下ろした垂線の足をM, P から面 OBC に下ろした垂線の足をNとすると, PN: AM=OP: OA=α: (a+b1) ...... ② F に下ろした垂線, 世 四面体 O-ABC の底面を△OBC,高さをAから面 OBCに下ろした垂線とみて, (底面積)×(高さ) を比較する. NE=A2 4 38 0804 よって, ①,②より、求める体積比は, aza3Xa1: (az+b)(a3+b3)×(a+b1) =a₁a₂a3: (a₁ + b₂₁)(a₂+ b₂)(a3 + b3) 12 (APO P 0 B △OBC ...... 18:0a = /20 -OB･OC sin ∠BOC AOQR (1) = 12OQ･OR sin <BOC AM = OAsina ゴー C OA と面 OBCのなす角をα とすると, PN=OPsina

方程式の質問です。何故黄色線のような不等式になるんですか？

を素数とする. 整数を係数とするn次多項式f(x) (n≧1) で, 以下の3条件を同 時に満たしているものをすべて求めよ. x" の係数は 1, • f(0) = p, ・方程式f(x)=0の解は相異なるn個の整数. 4.1 4.1 方程式f(x)=0 の相異なるn個の解を A1, A2, A3, ***, An とすると,x" の係数が1であるから, f(x)=(x-α)(x-α2)(x-α3)... (x-αm) と表せる. よって, f(0)=(-a)(-α2) (-αs)….. (-αn) =(-1) "asazas... am. f (0) = pであるから (-1) "a1a2as...αn=p. pは素数で, その約数は ±1, ±pのみであるから, n≤3 である.

(2)の T=S-(a₁a₂+…) で質問なのですが、(a₁+a₂+…)×(a₁+a₂+…)を展開すると隣り合う2項の積のペアは2つできるのではないですか?たとえば(a₁+a₂)×(a₁+a₂)を展開するとa₁²+2a₁a₂+a₂²になります。なのでT=S-2×(a₁a₂+... 続きを読む

学的帰納法 ⑤ 数列 1,2,3,..,nについて,次の問に答えよ。 ただし,n≧2とする。 (1) 異なる2項の積の総和を求めよ。 (2) 互いに隣り合わない異なる2項の積の総和を求めよ。 (1) 第n項を an とすると an=n (a₁ + a₂+...+an)² = (a₁² + a₂² + ... + an ²) よって であることから、求める和をSとすると (2₂) = a.² +2 \k=1 k=1 +2(a₁a₂+a₁a3+ + an-1an) a₁a2+a₁a3+ +an-1an の部分が a1,a2, ..., an の異なる2項の積の和 である。 S= ·½{(2ª₂)² - Žª.²¹} k= Za₂ = {k= = n(n+1)

最大公約数、最小公約数の問題です。 模範解答も、自分自身の解答もしっくりきません。 Ga’+Gb’=G(a’+b’)の、a’+b’が素数になる理由もよく分かってないけど、どんな数字当てはめてもそうなるので、そうなるとしかいえません() どなたか助けてください、、

50 2つの自然数a,b (a < b) の和が132, 最小公倍数が336であると 〈福岡大〉 き, 最大公約数とα, bを求めよ。 49 最大公約数 最小公倍数 α, b の最大公約数をGとすると a=Ga', b=Gb' (a', 6' は互いに素)と表せる。 a+b=132 から Ga'+G6' =132 ... G(a'+6')=12×11 また, 最小公倍数L=336 から L=Ga'b'=336=12×28 1128 は互いに素だから 最大公約数は 12 また、α'+6'=11, α'b' = 28 だから α′,6′はt2-11t+28=0の解である。 (t-4)(t-7)=0 ∴ t=4, 7 a<bより α'=4, 6′=7 よって, α = 4×12=48 b=7×12=84 ....... 1² (35) 8.15 α'と6' が互いに素であるとき 互いに素である。 これの意味、必要性 6'11-α′ を α'6'=28に代入 4 JS POS して解くと a' (11-α')=28 より アドバイス ●2つの数1218の最大公約数は6だから 12 = 6×2,186 × 3 と表せる。こ こで、大切なのは最大公約数6に掛けられる2と3は互いに素であることだ。 ●このように、2つの自然数 α, b について, 最大公約数がGであるとき, (a'-4) (a'-7)=0 a'=4, 7 a=Ga' b=Gb' a=Ga', b=Gb' と表せる。 ただし,α', 6' は互いに素である。 ●このとき Tazas 最小公倍数は L=Gα'b', a, b の積は ab= Ga'×G6' =LG と表せる。 2つの自然数a,bの最大公約数と最小公倍数 G.C.D. = G (最大公約数) L.C.M.=L ( 最小公倍数 ) これで解決! 互いに素 L=Ga'b', ab=LG ■練習49 (1) 3桁の自然数が2つあり, その和が756, 最大公約数が84 である。このよ うな自然数の組をすべて求めよ。 (2)a,bは自然数で, a≧b とし, a + b は a, bの最大公約数の5倍に等しく,6ab 倉敷芸科大> 〈津田塾大〉 はαの最小公倍数の2乗に等しい。 このとき, a b を求めよ。 角 ア ア LY 解 練

数Aの確率の問題です。さっぱり分かりません💦💦助けてくださいm(_ _)m求め方と解答をお願いします💦至急お願いします💦💦

1から7の番号が1つずつ書かれた7枚のカードの入った箱から無作為に1枚選んでは元に戻すことを回繰り返す。 とおく。 次の確率をnを用いた 回目に選んだカードの数字を as (1≦k≦n) とする。 また, T.=ajazas.... 式で表せ。 ただし, nは3以上の整数とする。 (1) Tm が偶数となる確率 (2) T. が4の倍数となる確率 (3) T. が6以下となる確率